ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 24 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте график функции \(y = x^2 — 6|x| + 8\). Какое наибольшее количество общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

№ 24.

\(y = x^2 — 6|x| + 8\).
При \(x \geq 0\) имеем:
\(y = x^2 — 6x + 8\).
При \(x < 0\) имеем:
\(y = x^2 + 6x + 8\).

Следовательно, \(y =
\begin{cases}
x^2 — 6x + 8, & \text{если } x \geq 0 \\
x^2 + 6x + 8, & \text{если } x < 0
\end{cases}\)

\(y = x^2 — 6x + 8\), если \(x \geq 0\):

\(y = x^2 + 6x + 8\), если \(x < 0\):

Наибольшее количество общих точек с прямой, параллельной оси абсцисс — четыре.

Ответ: четыре.

Данная функция имеет вид \(y = x^2 — 6|x| + 8\). Для того чтобы построить её график и проанализировать количество точек пересечения с прямой, параллельной оси абсцисс, необходимо сначала раскрыть модуль. Если \(x \geq 0\), то \(|x| = x\), и функция принимает вид \(y = x^2 — 6x + 8\). Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\), и функция становится \(y = x^2 + 6x + 8\). Таким образом, график состоит из двух ветвей парабол: одна ветвь для \(x \geq 0\) и другая для \(x < 0\).

Рассмотрим каждую ветвь отдельно. Для \(x \geq 0\) уравнение \(y = x^2 — 6x + 8\) описывает параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке с абсциссой \(x = 3\), так как координата вершины параболы определяется формулой \(x_0 = \frac{-b}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -6\). Подставляя значения, получаем \(x_0 = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3\). Для \(x < 0\) уравнение \(y = x^2 + 6x + 8\) также представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке \(x_0 = \frac{-6}{2 \cdot 1} = -3\). Таким образом, обе ветви симметричны относительно оси ординат, но смещены по горизонтали.

Чтобы определить максимальное количество точек пересечения графика функции с прямой, параллельной оси абсцисс, рассмотрим уравнение \(x^2 — 6|x| + 8 = k\), где \(k\) — произвольное значение, соответствующее уровню прямой. Подставим \(y = k\) и раскроем модуль: если \(x \geq 0\), получаем \(x^2 — 6x + 8 = k\), если \(x < 0\), имеем \(x^2 + 6x + 8 = k\). Решая каждое из этих квадратных уравнений относительно \(x\), можно получить максимум по две точки для каждой ветви, если дискриминант положителен. Таким образом, в случае, когда прямая проходит через область, где обе ветви пересекаются с ней дважды, общее количество точек пересечения будет равно четырём.

Для наглядности рассмотрим таблицы значений для обеих ветвей. Для \(y = x^2 — 6x + 8\), когда \(x \geq 0\):

Для \(y = x^2 + 6x + 8\), когда \(x < 0\):

Из графика видно, что если провести горизонтальную прямую на уровне \(y = 0\) или \(y = 3\), она пересечёт график функции в четырёх точках: две на ветви при \(x \geq 0\) и две при \(x < 0\). Для некоторых других значений \(k\) количество точек пересечения может быть меньше четырёх, если дискриминант квадратного уравнения становится нулём или отрицательным, то есть если прямая касается графика или не пересекает его вовсе. В случае, если дискриминант равен нулю, прямая касается графика в одной точке каждой ветви, а если отрицателен — не пересекает вовсе, то есть пересечений нет (\(\emptyset\)). Следовательно, максимальное количество общих точек с прямой, параллельной оси абсцисс, составляет четыре.