ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 4 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Заполните таблицу.

1) \(y = x^{2} — x + 9;\)
\(x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2};\)
\(y_{0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} — \frac{1}{2} + 9 = \frac{1}{4} — \frac{2}{4} + 9 = -\frac{1}{4} + 9 = 8 \frac{3}{4}.\)

2) \(y = -0{,}5x^{2} + x + 2;\)
\(x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-0{,}5)} = -\frac{1}{-1} = 1;\)
\(y_{0} = -0{,}5 \cdot 1^{2} + 1 + 2 = -0{,}5 + 3 = 2{,}5.\)

3) \(y = -4x^{2} + 16x — 20;\)
\(x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{16}{2 \cdot (-4)} = -\frac{16}{-8} = 2;\)
\(y_{0} = -4 \cdot 2^{2} + 16 \cdot 2 — 20 = -16 + 32 — 20 = -4.\)

4) \(y = \frac{1}{6}x^{2} — 4x + 24;\)
\(x_{0} = -\frac{-4}{2 \cdot \frac{1}{6}} = 4 : \frac{1}{3} = 4 \cdot 3 = 12;\)
\(y_{0} = \frac{1}{6} \cdot 12^{2} — 4 \cdot 12 + 24 = \frac{1}{6} \cdot 144 — 48 + 24 = 24 — 24 = 0.\)

При рассмотрении квадратичной функции вида \(y = ax^{2} + bx + c\), направление ветвей определяется знаком коэффициента \(a\). Если \(a > 0\), ветви параболы направлены вверх, если \(a < 0\) — вниз. Вершина параболы имеет координаты \(x_{0} = -\frac{b}{2a}\), \(y_{0} = a x_{0}^{2} + b x_{0} + c\), что позволяет находить точку максимума или минимума функции и анализировать её положение относительно оси \(x\).

Например, в первом случае \(y = x^{2} — x + 9\), коэффициент \(a = 1\), значит ветви направлены вверх. Для вычисления абсциссы вершины используем формулу: \(x_{0} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}\). Подставляя найденное значение в исходную функцию, получаем \(y_{0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} — \frac{1}{2} + 9 = \frac{1}{4} — \frac{2}{4} + 9 = -\frac{1}{4} + 9 = 8 \frac{3}{4}\). Это значит, что вершина параболы находится в точке \(\left(\frac{1}{2}; 8 \frac{3}{4}\right)\). Поскольку значение вершины выше оси \(x\) и коэффициент \(a\) положительный, парабола не пересекает ось \(x\), то есть решений уравнения \(x^{2} — x + 9 = 0\) нет, и количество общих точек с осью \(x\) равно \(\emptyset\).

Во втором случае \(y = -0{,}5x^{2} + x + 2\), коэффициент \(a = -0{,}5\), ветви направлены вниз. Находим абсциссу вершины: \(x_{0} = -\frac{1}{2 \cdot (-0{,}5)} = -\frac{1}{-1} = 1\). Подставляем в исходное выражение: \(y_{0} = -0{,}5 \cdot 1^{2} + 1 + 2 = -0{,}5 + 3 = 2{,}5\). Вершина в точке \((1; 2{,}5)\). Так как ветви вниз, а вершина выше оси \(x\), парабола пересекает ось \(x\) в двух точках, что соответствует количеству корней уравнения и записывается как 2.

В третьем примере \(y = -4x^{2} + 16x — 20\), \(a = -4\), ветви вниз. Абсцисса вершины: \(x_{0} = -\frac{16}{2 \cdot (-4)} = -\frac{16}{-8} = 2\). Ордината вершины: \(y_{0} = -4 \cdot 2^{2} + 16 \cdot 2 — 20 = -16 + 32 — 20 = -4\). Вершина в точке \((2; -4)\), ниже оси \(x\), ветви вниз, поэтому парабола не пересекает ось \(x\), решений нет: \(\emptyset\).

В четвертом случае \(y = \frac{1}{6}x^{2} — 4x + 24\), \(a = \frac{1}{6}\), ветви вверх. Абсцисса вершины: \(x_{0} = -\frac{-4}{2 \cdot \frac{1}{6}} = 4 : \frac{1}{3} = 4 \cdot 3 = 12\). Ордината вершины: \(y_{0} = \frac{1}{6} \cdot 12^{2} — 4 \cdot 12 + 24 = \frac{1}{6} \cdot 144 — 48 + 24 = 24 — 24 = 0\). Вершина лежит на оси \(x\), значит парабола касается оси \(x\) в одной точке, количество общих точек — 1.