ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 6 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте график данной функции. Используя график, заполните пропуски.
1) \(f(x) = x^2 — 4x — 12\)
2) \(f(x) = -x^2 — 4x — 3\)
3) \(f(x) = x^2 — x — 2\)
4) \(f(x) = 4x^2 — 8x + 4\)
5) \(f(x) = 4 — x — 0{,}5x^2\)
6) \(f(x) = 2x^2 — 4x\)
7) \(f(x) = -x^2 + 4x — 6\)

1) \(f(x)=x^2-4x-12\).
Данная функция является квадратичной, ее график – парабола, ветви которой направлены вверх.
Абсцисса вершины параболы \(x_0=-\frac{-4}{2}=2\), ордината вершины \(y_0=f(2)=2^2-4\cdot2-12=4-8-12=-16\).
Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение \(x^2-4x-12=0\).
Имеем:
\(x^2-4x-12=0\)
\(D=16+4\cdot12=16+48=64\).
\(x_1=\frac{4-\sqrt{64}}{2}=\frac{4-8}{2}=\frac{-4}{2}=-2\);
\(x_2=\frac{4+\sqrt{64}}{2}=\frac{4+8}{2}=\frac{12}{2}=6\).
Следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в точках \((-2;0)\) и \((6;0)\).
Найдем точку пересечения параболы с осью ординат:
\(f(0)=0^2-4\cdot0-12=-12\).
Парабола пересекает ось ординат в точке \((0;-12)\).
Найдем значения функции в точках \(x=1\) и \(x=3\):
\(y=f(1)=1^2-4\cdot1-12=1-4-12=-15\);
\(y=f(3)=3^2-4\cdot3-12=9-12-12=-15\).
\(E(f)=[-16;+\infty)\).
Функция возрастает на промежутке \([2;+\infty)\) и убывает на промежутке \((-\infty;2]\).
Функция принимает положительные значения при \(x\in(-\infty;-2)\cup(6;+\infty)\), а отрицательные – при \(x\in(-2;6)\).
Наименьшее значение функции равно \(-16\), наибольшее значение – не существует.

2) \(f(x)=-x^2-4x-3\).
Данная функция является квадратичной, ее график – парабола, ветви которой направлены вниз.
Абсцисса вершины параболы \(x_0=-\frac{-4}{-2}=-2\), ордината вершины \(y_0=f(-2)=-(-2)^2-4\cdot(-2)-3=-4+8-3=1\).
Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение \(-x^2-4x-3=0\).
Имеем:
\(-x^2-4x-3=0\)
\(D=16-4\cdot3=4\).
\(x_1=\frac{4-\sqrt{4}}{-2}=\frac{4-2}{-2}=\frac{2}{-2}=-1\);
\(x_2=\frac{4+\sqrt{4}}{-2}=\frac{4+2}{-2}=\frac{6}{-2}=-3\).
Следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в точках \((-1;0)\) и \((-3;0)\).
Найдем точку пересечения параболы с осью ординат:
\(f(0)=-0^2-4\cdot0-3=-3\).
Парабола пересекает ось ординат в точке \((0;-3)\).
Найдем значения функции в точках \(x=-4\) и \(x=1\):
\(y=f(-4)=-(-4)^2-4\cdot(-4)-3=-16+16-3=-3\);
\(y=f(1)=-1^2-4\cdot1-3=-1-4-3=-8\).
\(E(f)=(-\infty;1]\).
Функция возрастает на промежутке \((-\infty;-2]\) и убывает на промежутке \([-2;+\infty)\).
Функция принимает положительные значения при \(x\in(-3;-1)\), а отрицательные – при \(x\in(-\infty;-3)\cup(-1;+\infty)\).
Наименьшее значение функции – не существует, наибольшее значение равно \(1\).

3) \(f(x)=x^2-x-2\).
Данная функция является квадратичной, ее график – парабола, ветви которой направлены вверх.
Абсцисса вершины параболы \(x_0=-\frac{-1}{2}=0,5\), ордината вершины \(y_0=f(0,5)=0,5^2-0,5-2=0,25-0,5-2=-2,25\).
Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение \(x^2-x-2=0\).
Имеем:
\(x^2-x-2=0\)
\(D=1+4\cdot2=9\).
\(x_1=\frac{1-\sqrt{9}}{2}=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1\);
\(x_2=\frac{1+\sqrt{9}}{2}=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2\).
Следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в точках \((-1;0)\) и \((2;0)\).
Найдем точку пересечения параболы с осью ординат:
\(f(0)=0^2-0-2=-2\).
Парабола пересекает ось ординат в точке \((0;-2)\).
Найдем значения функции в точках \(x=-2\) и \(x=3\):
\(y=f(-2)=(-2)^2-(-2)-2=4+2-2=4\);
\(y=f(3)=3^2-3-2=9-3-2=4\).
\(E(f)=[-2,25;+\infty)\).
Функция возрастает на промежутке \([0,5;+\infty)\) и убывает на промежутке \((-\infty;0,5]\).
\(f(x)\geq0\) при \(x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)\).
\(f(x)<0\) при \(x\in(-1;2)\).

4) \(f(x)=4x^2-8x+4\).
Данная функция является квадратичной, ее график – парабола, ветви которой направлены вверх.
Абсцисса вершины параболы \(x_0=\frac{8}{8}=1\), ордината вершины \(y_0=f(1)=4\cdot1^2-8\cdot1+4=4-8+4=0\).
Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение \(4x^2-8x+4=0\).
\(4x^2-8x+4=0\)
\((2x-2)^2=0\)
\(2x-2=0\)
\(2x=2\)
\(x=1\).
Следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в точке \((1;0)\).
Найдем точку пересечения параболы с осью ординат:
\(f(0)=4\cdot0^2-8\cdot0+4=4\).
Парабола пересекает ось ординат в точке \((0;4)\).
Найдем значения функции в точках \(x=-1\) и \(x=2\):
\(y=f(-1)=4\cdot(-1)^2-8\cdot(-1)+4=4+8+4=16\);
\(y=f(2)=4\cdot2^2-8\cdot2+4=16-16+4=4\).
\(E(f)=[0;+\infty)\).
Функция возрастает на промежутке \([1;+\infty)\) и убывает на промежутке \((-\infty;1]\).
\(f(x)>0\) при \(x\neq1\).

5) \(f(x)=4-x-0,5x^2\).
Данная функция является квадратичной, ее график – парабола, ветви которой направлены вниз.
Абсцисса вершины параболы \(x_0=-\frac{-1}{2\cdot(-0,5)}=-1\), ордината вершины \(y_0=f(-1)=-0,5\cdot(-1)^2-(-1)+4=-0,5+1+4=4,5\).
Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение \(-0,5x^2-x+4=0\).
\(D=1+4\cdot0,5\cdot4=1+8=9\).
\(x_1=\frac{1-\sqrt{9}}{2\cdot(-0,5)}=\frac{1-3}{-1}=\frac{-2}{-1}=2\);
\(x_2=\frac{1+\sqrt{9}}{2\cdot(-0,5)}=\frac{1+3}{-1}=\frac{4}{-1}=-4\).
Следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в точках \((2;0)\) и \((-4;0)\).
Найдем точку пересечения параболы с осью ординат:
\(f(0)=-0,5\cdot0^2-0+4=4\).
Парабола пересекает ось ординат в точке \((0;4)\).
Найдем значения функции в точках \(x=-2\) и \(x=4\):
\(y=f(-2)=-0,5\cdot(-2)^2-(-2)+4=-0,5\cdot4+2+4=-2+2+4=4\);
\(y=f(4)=-0,5\cdot4^2-4+4=-0,5\cdot16-4+4=-8-4+4=-8\).
\(E(f)=(-\infty;4,5]\).
Функция возрастает на промежутке \((-\infty;-1]\) и убывает на промежутке \([-1;+\infty)\).
Функция принимает положительные значения при \(x\in(-4;2)\), а отрицательные – при \(x\in(-\infty;-4)\cup(2;+\infty)\).

6) \(f(x)=2x^2-4x\).
Данная функция является квадратичной, ее график – парабола, ветви которой направлены вверх.
Абсцисса вершины параболы \(x_0=-\frac{-4}{2\cdot2}=1\), ордината вершины \(y_0=f(1)=2\cdot1^2-4\cdot1=2-4=-2\).
Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение \(2x^2-4x=0\).
\(2x(x-2)=0\)
\(x=0\) или \(x=2\).
Следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в точках \((0;0)\) и \((2;0)\).
Найдем точку пересечения параболы с осью ординат:
\(f(0)=2\cdot0^2-4\cdot0=0\).
Парабола пересекает ось ординат в точке \((0;0)\).
Найдем значения функции в точках \(x=-1\) и \(x=3\):
\(y=f(-1)=2\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)=2+4=6\);
\(y=f(3)=2\cdot3^2-4\cdot3=18-12=6\).
\(E(f)=[-2;+\infty)\).
Функция возрастает на промежутке \([1;+\infty)\) и убывает на промежутке \((-\infty;1]\).
\(f(x)>0\) при \(x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty)\).
\(f(x)<0\) при \(x\in(0;2)\).

7) \(f(x)=-x^2+4x-6\).
Данная функция является квадратичной, ее график – парабола, ветви которой направлены вниз.
Абсцисса вершины параболы \(x_0=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2\), ордината вершины \(y_0=f(2)=-2^2+4\cdot2-6=-4+8-6=-2\).
Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение \(-x^2+4x-6=0\).
\(D=16-4\cdot6=16-24=-8<0\).
Следовательно, парабола не пересекает ось абсцисс.
Найдем точку пересечения параболы с осью ординат:
\(f(0)=-0^2+4\cdot0-6=-6\).
Парабола пересекает ось ординат в точке \((0;-6)\).
Найдем значения функции в точках \(x=-1\) и \(x=4\):
\(y=f(-1)=-(-1)^2+4\cdot(-1)-6=-1-4-6=-11\);
\(y=f(4)=-4^2+4\cdot4-6=-16+16-6=-6\).
\(E(f)=(-\infty;-2]\).
Функция возрастает на промежутке \((-\infty;2]\) и убывает на промежутке \([2;+\infty)\).
\(f(x)<0\) при \(x\in(-\infty;+\infty)\).

Для функции \(f(x)=x^2-4x-12\) важно понять, что это квадратичная функция, график которой всегда представляет собой параболу. Парабола может быть направлена вверх или вниз, в зависимости от знака коэффициента при \(x^2\). В данном случае коэффициент равен \(1\), что больше нуля, значит ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в вершине параболы, а затем значения функции возрастают по мере удаления от вершины влево и вправо.

Чтобы найти вершину параболы, используется формула для абсциссы вершины: \(x_0=-\frac{b}{2a}\), где \(a\) — коэффициент при \(x^2\), а \(b\) — коэффициент при \(x\). В нашем случае \(a=1\), \(b=-4\), поэтому \(x_0=-\frac{-4}{2\cdot1}=2\). Подставляя найденное значение \(x_0\) в исходную функцию, вычисляем ординату вершины: \(y_0=f(2)=2^2-4\cdot2-12=4-8-12=-16\). Таким образом, вершина параболы имеет координаты \((2;-16)\), что и есть точка минимума функции. Это минимальное значение функции, и ниже этого значения функция не опускается.

Далее рассмотрим пересечения графика с осями координат. Пересечение с осью абсцисс (ось \(x\)) происходит там, где \(f(x)=0\). Решая уравнение \(x^2-4x-12=0\), находим дискриминант: \(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-12)=16+48=64\). Корни уравнения вычисляются по формуле: \(x_1=\frac{4-\sqrt{64}}{2}= -2\), \(x_2=\frac{4+\sqrt{64}}{2}=6\). Следовательно, график пересекает ось \(x\) в точках \((-2;0)\) и \((6;0)\). Пересечение с осью ординат (ось \(y\)) находим, подставляя \(x=0\): \(f(0)=0^2-4\cdot0-12=-12\). Значит, точка пересечения с осью \(y\) — это \((0;-12)\).

Рассмотрим поведение функции на различных промежутках. Так как вершина параболы находится в точке \(x=2\), функция убывает на промежутке \((-\infty;2]\) и возрастает на промежутке \([2;+\infty)\). Это связано с тем, что парабола открыта вверх и ее вершина — точка минимума. Наименьшее значение функции — это значение в вершине: \(f(2)=-16\). Наибольшего значения функция не имеет, так как при увеличении или уменьшении \(x\) значения функции неограниченно возрастают. Область значений функции: \(E(f)=[-16;+\infty)\).

Теперь определим, при каких значениях \(x\) функция принимает положительные и отрицательные значения. Положительные значения функция принимает там, где график выше оси \(x\), то есть при \(x<-2\) и \(x>6\), а отрицательные — между корнями, то есть при \(x\in(-2;6)\). Это можно проверить подстановкой любых значений из указанных промежутков в функцию. Например, при \(x=-3\): \(f(-3)=9+12-12=9\) — положительное значение; при \(x=0\): \(f(0)=-12\) — отрицательное значение; при \(x=7\): \(f(7)=49-28-12=9\) — опять положительное значение.

Для наглядности полезно вычислить значения функции в нескольких дополнительных точках, чтобы лучше понять форму графика. Например, \(f(1)=1-4-12=-15\), \(f(3)=9-12-12=-15\). Эти значения показывают, что около вершины значения функции близки к минимальному и симметричны относительно оси симметрии \(x=2\). Это свойство характерно для параболы: значения функции на одинаковом расстоянии слева и справа от вершины совпадают.

Таким образом, зная вершину, точки пересечения с осями, область определения и значения функции на разных промежутках, можно полностью описать поведение и график данной квадратичной функции.