ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 7 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции.

1) \(f(x) = 3x^2 — 12x + 5\)

2) \(f(x) = \frac{1}{7}x^2 + 2x — 3\)

3) \(f(x) = -0{,}2x^2 + 4x + 7\)

4) \(f(x) = -6x^2 + 36x\)

1) \(f(x) = 3x^2 — 12x + 5\). Поскольку старший коэффициент трехчлена \(3x^2 — 12x + 5\) больше нуля, то область значений данной функции \(E(f) = (y_0; +\infty)\), где \(y_0\) — ордината вершины параболы \(y = 3x^2 — 12x + 5\); функция возрастает на промежутке \((x_0; +\infty)\) и убывает на промежутке \((-\infty; x_0)\), где \(x_0\) — абсцисса вершины параболы. Имеем: \(x_0 = \frac{-(-12)}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2\); \(y_0 = f(2) = 3 \cdot 2^2 — 12 \cdot 2 + 5 = 3 \cdot 4 — 24 + 5 = -7\). Следовательно, \(E(f) = (-7; +\infty)\), функция возрастает на промежутке \((2; +\infty)\) и убывает на промежутке \((-\infty; 2)\).

2) \(f(x) = \frac{1}{7}x^2 + 2x — 3\). Поскольку старший коэффициент трехчлена \(\frac{1}{7}x^2 + 2x — 3\) больше нуля, то область значений данной функции \(E(f) = (y_0; +\infty)\), где \(y_0\) — ордината вершины параболы \(y = \frac{1}{7}x^2 + 2x — 3\); функция возрастает на промежутке \((x_0; +\infty)\) и убывает на промежутке \((-\infty; x_0)\), где \(x_0\) — абсцисса вершины параболы. Имеем: \(x_0 = \frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{7}} = \frac{-2}{\frac{2}{7}} = -2 \cdot \frac{7}{2} = -7\); \(y_0 = f(-7) = \frac{1}{7} \cdot (-7)^2 + 2 \cdot (-7) — 3 = \frac{1}{7} \cdot 49 — 14 — 3 = 7 — 14 — 3 = -10\). Следовательно, \(E(f) = (-10; +\infty)\), функция возрастает на промежутке \((-7; +\infty)\) и убывает на промежутке \((-\infty; -7)\).

3) \(f(x) = -0{,}2x^2 + 4x + 7\). Поскольку старший коэффициент трехчлена \(-0{,}2x^2 + 4x + 7\) меньше нуля, то область значений данной функции \(E(f) = (-\infty; y_0)\), где \(y_0\) — ордината вершины параболы \(y = -0{,}2x^2 + 4x + 7\); функция возрастает на промежутке \((-\infty; x_0)\) и убывает на промежутке \((x_0; +\infty)\), где \(x_0\) — абсцисса вершины параболы. Имеем: \(x_0 = \frac{-4}{2 \cdot (-0{,}2)} = \frac{-4}{-0{,}4} = 10\); \(y_0 = f(10) = -0{,}2 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10 + 7 = -0{,}2 \cdot 100 + 40 + 7 = -20 + 47 = 27\). Следовательно, \(E(f) = (-\infty; 27)\), функция возрастает на промежутке \((-\infty; 10)\) и убывает на промежутке \((10; +\infty)\).

4) \(f(x) = -6x^2 + 36x\). Поскольку старший коэффициент трехчлена \(-6x^2 + 36x\) меньше нуля, то область значений данной функции \(E(f) = (-\infty; y_0)\), где \(y_0\) — ордината вершины параболы \(y = -6x^2 + 36x\); функция возрастает на промежутке \((-\infty; x_0)\) и убывает на промежутке \((x_0; +\infty)\), где \(x_0\) — абсцисса вершины параболы. Имеем: \(x_0 = \frac{-36}{2 \cdot (-6)} = \frac{-36}{-12} = 3\); \(y_0 = f(3) = -6 \cdot 3^2 + 36 \cdot 3 = -6 \cdot 9 + 108 = -54 + 108 = 54\). Следовательно, \(E(f) = (-\infty; 54)\), функция возрастает на промежутке \((-\infty; 3)\) и убывает на промежутке \((3; +\infty)\).

1) Функция \(f(x) = 3x^2 — 12x + 5\) является квадратичной, то есть график функции — это парабола. Старший коэффициент \(a = 3\) положителен, значит, ветви параболы направлены вверх. Для определения области значений функции и промежутков возрастания и убывания необходимо найти вершину параболы. Абсцисса вершины определяется по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(b = -12\), \(a = 3\). Подставим значения: \(x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2\). Ордината вершины находится подстановкой \(x_0\) в исходную функцию: \(y_0 = f(2) = 3 \cdot 2^2 — 12 \cdot 2 + 5 = 3 \cdot 4 — 24 + 5 = 12 — 24 + 5 = -7\). Поскольку парабола открыта вверх, минимальное значение функции — это значение в вершине, то есть \(y_0 = -7\). Значит, область значений функции: \(E(f) = (-7; +\infty)\).

Промежутки возрастания и убывания определяются направлением ветвей параболы. Для \(a > 0\) функция убывает на промежутке от минус бесконечности до вершины, то есть при \(x < 2\), и возрастает при \(x > 2\). Таким образом, функция убывает на промежутке \((-\infty; 2)\) и возрастает на промежутке \((2; +\infty)\). В точке \(x = 2\) функция достигает наименьшего значения, после чего начинает возрастать.

Вся эта информация позволяет понять, что функция принимает любые значения, большие или равные \(-7\), а также что на графике есть единственная точка минимума при \(x = 2\), после которой значения функции возрастают бесконечно, а до этой точки значения функции убывают.

2) Функция \(f(x) = \frac{1}{7}x^2 + 2x — 3\) также является квадратичной. Старший коэффициент \(a = \frac{1}{7}\) положителен, парабола открыта вверх. Находим абсциссу вершины: \(x_0 = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{7}} = -\frac{2}{\frac{2}{7}} = -2 \cdot \frac{7}{2} = -7\). Ордината вершины: \(y_0 = f(-7) = \frac{1}{7} \cdot (-7)^2 + 2 \cdot (-7) — 3 = \frac{1}{7} \cdot 49 — 14 — 3 = 7 — 14 — 3 = -10\). Минимальное значение функции — это значение в вершине, то есть \(y_0 = -10\), так как парабола открыта вверх, и область значений: \(E(f) = (-10; +\infty)\).

Промежутки возрастания и убывания определяются аналогично: функция убывает на промежутке \((-\infty; -7)\) и возрастает на промежутке \((-7; +\infty)\). В точке \(x = -7\) функция достигает своего минимума \(y = -10\), после чего значения функции начинают возрастать.

Таким образом, функция принимает любые значения, большие или равные \(-10\), а наименьшее значение достигается при \(x = -7\). До этой точки функция убывает, а после — возрастает.

3) Функция \(f(x) = -0{,}2x^2 + 4x + 7\) также квадратичная, но старший коэффициент \(a = -0{,}2\) отрицателен, значит, парабола открыта вниз. Абсцисса вершины: \(x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-0{,}2)} = -\frac{4}{-0{,}4} = 10\). Ордината вершины: \(y_0 = f(10) = -0{,}2 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10 + 7 = -0{,}2 \cdot 100 + 40 + 7 = -20 + 47 = 27\). Максимальное значение — это значение в вершине, так как парабола открыта вниз, значит, область значений \(E(f) = (-\infty; 27)\).

Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает на промежутке \((-\infty; 10)\), достигает максимума в точке \(x = 10\), затем убывает на промежутке \((10; +\infty)\). То есть до вершины значения функции увеличиваются, а после вершины — уменьшаются.

Таким образом, функция может принимать любые значения, меньшие или равные \(27\), а наибольшее значение достигается при \(x = 10\). До этой точки функция возрастает, а после — убывает.

4) Функция \(f(x) = -6x^2 + 36x\) также квадратичная, где старший коэффициент \(a = -6\) отрицателен, парабола открыта вниз. Абсцисса вершины: \(x_0 = \frac{-36}{2 \cdot (-6)} = \frac{-36}{-12} = 3\). Ордината вершины: \(y_0 = f(3) = -6 \cdot 3^2 + 36 \cdot 3 = -6 \cdot 9 + 108 = -54 + 108 = 54\). Максимальное значение — это значение в вершине, то есть \(y_0 = 54\), и область значений: \(E(f) = (-\infty; 54)\).

Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает на промежутке \((-\infty; 3)\), достигает максимума в точке \(x = 3\), затем убывает на промежутке \((3; +\infty)\). До вершины значения функции увеличиваются, после вершины — уменьшаются.

Таким образом, функция принимает любые значения, меньшие или равные \(54\), максимум достигается при \(x = 3\), до этой точки функция возрастает, а после — убывает.