ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 8 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

При каком значении \(a\) осью симметрии параболы \(y = ax^2 — 7x + 5\) является прямая \(x = -3\)?

\(y = ax^2 — 7x + 5.\)

Осью симметрии параболы является прямая \(x = -\frac{b}{2a}\)

Имеем:

\(-\frac{b}{2a} = -3\)

\(-\frac{7}{2a} = -3\)

\(\frac{7}{2a} = -3\)

\(7 = -3 \cdot 2a\)

\(7 = -6a\)

\(a = -\frac{7}{6}\)

Ответ: при \(a = -\frac{7}{6}\)

Рассмотрим уравнение параболы \(y = ax^2 — 7x + 5\), где коэффициент \(a\) неизвестен. В общем виде уравнение параболы записывается как \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a\) — коэффициент при \(x^2\), \(b\) — коэффициент при \(x\), а \(c\) — свободный член. Ось симметрии параболы определяется формулой \(x = -\frac{b}{2a}\). В данной задаче коэффициенты равны: \(a\) — неизвестно, \(b = -7\), \(c = 5\). Нам требуется найти такое значение \(a\), при котором ось симметрии параболы совпадает с прямой \(x = -3\).

Подставим значение \(b = -7\) в формулу оси симметрии: \(x = -\frac{-7}{2a}\). Получаем \(x = \frac{7}{2a}\). По условию задачи ось симметрии должна совпадать с прямой \(x = -3\). Следовательно, приравниваем выражение для оси симметрии к \(-3\): \(\frac{7}{2a} = -3\). Теперь решим это уравнение относительно \(a\). Умножим обе части на \(2a\), чтобы избавиться от знаменателя: \(7 = -3 \cdot 2a\). Раскроем скобки: \(7 = -6a\). Теперь выразим \(a\): перенесём знак минус, получим \(a = -\frac{7}{6}\).

Таким образом, значение коэффициента \(a\) при котором ось симметрии параболы \(y = ax^2 — 7x + 5\) совпадает с прямой \(x = -3\) равно \(a = -\frac{7}{6}\). Это означает, что если в уравнении параболы вместо \(a\) подставить \(-\frac{7}{6}\), вершина параболы будет лежать на линии \(x = -3\), то есть ось симметрии графика будет проходить через точку \(x = -3\). Такой подход позволяет находить параметры квадратичной функции по заданной геометрической характеристике её графика.