ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 9 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

График функции \(f(x) = x^2 + bx + c\) проходит через точки \(A (-2, -19)\) и \(B (5, 51)\). Найдите коэффициенты \(b\) и \(c\).

\(f(x) = x^{2} + bx + c.\)

Поскольку график данной функции проходит через точки \(A (-2; -19)\) и \(B (5; 51)\), то \(f(-2) = -19\) и \(f(5) = 51\).

Следовательно, можем записать систему уравнений:

\(((-2)^{2} — 2b + c = -19\)
\(5^{2} + 5b + c = 51\)

\(-2b + c = -19 — 4\)
\(5b + c = 51 — 25\)

\(-7b = -49\)
\(-2b + c = -23\)

\(5b + c = 26\)

\(b = 7\)
\(c = -23 + 2b\)

\(b = 7\)
\(c = -9\)

Ответ: \(b = 7, c = -9\).

Дана функция \(f(x) = x^{2} + bx + c\), график которой проходит через точки \(A(-2, -19)\) и \(B(5, 51)\). Это значит, что если подставить значения \(x\) из этих точек в выражение функции, то результат должен совпадать с соответствующими значениями \(y\). Таким образом, получаем два уравнения: первое — для точки \(A\), второе — для точки \(B\). Подставляем \(x = -2\) и \(y = -19\) в первое уравнение: \(f(-2) = (-2)^{2} + b \cdot (-2) + c = 4 — 2b + c = -19\). Подставляем \(x = 5\) и \(y = 51\) во второе уравнение: \(f(5) = 5^{2} + b \cdot 5 + c = 25 + 5b + c = 51\).

Теперь преобразуем оба уравнения для удобства решения. В первом уравнении \(4 — 2b + c = -19\) переносим 4 в правую часть: \(-2b + c = -19 — 4\), получаем \(-2b + c = -23\). Во втором уравнении \(25 + 5b + c = 51\) переносим 25 в правую часть: \(5b + c = 51 — 25\), получаем \(5b + c = 26\). Теперь у нас есть система двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
\(-2b + c = -23\)
\(5b + c = 26\)

Чтобы решить систему, выразим \(c\) из первого уравнения: \(c = -23 + 2b\). Подставим это выражение для \(c\) во второе уравнение: \(5b + (-23 + 2b) = 26\). Приводим подобные: \(5b + 2b — 23 = 26\), то есть \(7b = 26 + 23\), \(7b = 49\). Находим \(b\): \(b = \frac{49}{7} = 7\). Теперь подставим найденное значение \(b\) обратно в выражение для \(c\): \(c = -23 + 2 \cdot 7 = -23 + 14 = -9\).

Таким образом, коэффициенты \(b\) и \(c\) для функции \(f(x) = x^{2} + bx + c\), график которой проходит через точки \(A(-2, -19)\) и \(B(5, 51)\), равны \(b = 7\) и \(c = -9\). Мы подробно расписали подстановку, преобразование уравнений и решение системы для наглядного понимания каждого шага вычислений, что позволяет точно определить параметры функции по заданным точкам.