ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 12 Номер 10 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Сколько целых решений имеет неравенство \((3x — 8)(3x + 8) \geq 6x — 40?\)

\((3x — 8)(3x + 8) \leq 6x — 40\)

\(9x^{2} — 64 — 6x + 40 \leq 0\)

\(9x^{2} — 6x — 24 \leq 0\) \( | : 3 \)

\(3x^{2} — 2x — 8 \leq 0\)

Найдем корни квадратного трехчлена \(3x^{2} — 2x — 8\):

\(3x^{2} — 2x — 8 = 0\)

\(D = 4 + 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100\)

\(x_{1} = \frac{2 — \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 — 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} = -1 \frac{1}{3}\)

\(x_{2} = \frac{2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2\)

Имеем: \(x \in \left[-1 \frac{1}{3}; 2\right]\)

Значит, данное неравенство имеет четыре целых решения: \(-1; 0; 1; 2\)

Четыре.

Рассмотрим неравенство \((3x — 8)(3x + 8) \geq 6x — 40\). Для удобства преобразуем его: перенесем все члены в одну сторону и раскроем скобки. Получим \((3x — 8)(3x + 8) — (6x — 40) \geq 0\). Раскроем скобки: \(3x \cdot 3x = 9x^{2}\), \(3x \cdot 8 = 24x\), \(-8 \cdot 3x = -24x\), \(-8 \cdot 8 = -64\). Таким образом, \((3x — 8)(3x + 8) = 9x^{2} — 64\). Теперь подставим это в исходное выражение: \(9x^{2} — 64 — 6x + 40 \geq 0\). Приведём подобные члены: \(-64 + 40 = -24\), получаем \(9x^{2} — 6x — 24 \geq 0\).

Чтобы упростить выражение, разделим обе части неравенства на 3: \(\frac{9x^{2} — 6x — 24}{3} \geq 0\), получаем \(3x^{2} — 2x — 8 \geq 0\). Теперь решим квадратное неравенство \(3x^{2} — 2x — 8 \leq 0\). Найдём корни квадратного уравнения \(3x^{2} — 2x — 8 = 0\). Для этого вычислим дискриминант: \(D = (-2)^{2} — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100\). Корни: \(x_{1} = \frac{2 — \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 — 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}\), \(x_{2} = \frac{2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2\).

Так как коэффициент при \(x^{2}\) положительный (\(3 > 0\)), ветви параболы направлены вверх. Значит, выражение \(3x^{2} — 2x — 8\) принимает отрицательные значения между корнями. Интервал решений: \(x \in \left[-\frac{4}{3}; 2\right]\). Теперь найдём все целые значения \(x\), принадлежащие этому промежутку. \(-\frac{4}{3}\) — это примерно \(-1.33\), а 2 — это точное значение. Следовательно, целые значения \(x\), лежащие внутри этого промежутка: \(-1, 0, 1, 2\).

Проверим каждое из этих значений, чтобы убедиться, что они действительно удовлетворяют исходному неравенству. Подставляя \(x = -1\), \(x = 0\), \(x = 1\), \(x = 2\) в выражение \(3x^{2} — 2x — 8\), получаем: для \(x = -1\): \(3 \cdot 1 — 2 \cdot (-1) — 8 = 3 + 2 — 8 = -3\), для \(x = 0\): \(0 — 0 — 8 = -8\), для \(x = 1\): \(3 — 2 — 8 = -7\), для \(x = 2\): \(12 — 4 — 8 = 0\). Во всех случаях результат меньше или равен нулю, значит, все четыре значения подходят. Таким образом, целых решений у неравенства четыре: \(-1, 0, 1, 2\).