ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 12 Номер 11 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите наименьшее целое решение неравенства \((x — 1)(x — 3) < 27 — 2x\).

\((x-1)(x-3)<27-2x\)

\(x^{2}-3x-x+3+2x-27<0\)

\(x^{2}-2x-24<0\)

Найдем корни квадратного трехчлена \(x^{2}-2x-24\):

\(x^{2}-2x-24=0\)

\(D=4+4\cdot24=100\)

\(x_{1}=\frac{2-\sqrt{100}}{2}=\frac{2-10}{2}=\frac{-8}{2}=-4\)

\(x_{2}=\frac{2+\sqrt{100}}{2}=\frac{2+10}{2}=\frac{12}{2}=6\)

Имеем: \(x \in (-4; 6)\)

Наименьшее целое решение неравенства равно \((-3)\)

Ответ: \((-3)\)

Рассмотрим неравенство \((x-1)(x-3)<27-2x\). Для начала раскроем скобки в левой части: \((x-1)(x-3) = x^{2} — 3x — x + 3 = x^{2} — 4x + 3\). Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить стандартную форму квадратного неравенства: \(x^{2} — 4x + 3 — 27 + 2x < 0\). Преобразуем выражение: \(x^{2} — 4x + 3 — 27 + 2x = x^{2} — 2x — 24\). Получаем неравенство: \(x^{2} — 2x — 24 < 0\).

Теперь найдем корни квадратного уравнения \(x^{2} — 2x — 24 = 0\). Для этого вычислим дискриминант: \(D = (-2)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\). Корни уравнения находятся по формуле: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -24\). Подставляем значения: \(x_{1} = \frac{2 — 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4\), \(x_{2} = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6\). Значит, парабола \(y = x^{2} — 2x — 24\) пересекает ось \(x\) в точках \(x = -4\) и \(x = 6\).

Так как ветви параболы направлены вверх (коэффициент при \(x^{2}\) положительный), выражение \(x^{2} — 2x — 24\) будет отрицательным между корнями, то есть при \(x \in (-4; 6)\). Это и есть множество решений исходного неравенства. Среди всех целых чисел, принадлежащих этому промежутку, наименьшим является \(x = -3\). Проверим: \((-3-1)(-3-3) = (-4) \cdot (-6) = 24\), \(27-2 \cdot (-3) = 27 + 6 = 33\), \(24 < 33\), значит, условие выполняется. Следовательно, наименьшее целое решение неравенства равно \(-3\).