ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 12 Номер 12 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:
1) \(y = \sqrt{3x^2 — 10x + 3}\);
2) \(y = \sqrt{3 + 5x — 2x^2}\);
3) \(y = \frac{4}{\sqrt{4 — 3x — x^2}}\);
4) \(y = \frac{9}{\sqrt{3x^2 — 24x}}\).

1) \(y = \sqrt{3x^{2} — 10x + 3}\)
Область определения данной функции — множество решений неравенства \(3x^{2} — 10x + 3 \geq 0\).
Имеем: \(3x^{2} — 10x + 3 \geq 0\).
Найдём корни квадратного трёхчлена \(3x^{2} — 10x + 3\):
\(3x^{2} — 10x + 3 = 0\)
\(D = 100 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64\).
\(x_{1} = \frac{10 — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 — 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
\(x_{2} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3\)
Ответ: \((-\infty; \frac{1}{3}] \cup [3; +\infty)\)

2) \(y = \sqrt{3 + 5x — 2x^{2}}\)
Область определения данной функции — множество решений неравенства \(3 + 5x — 2x^{2} \geq 0\).
Имеем: \(3 + 5x — 2x^{2} \geq 0\).
Найдём корни квадратного трёхчлена \(3 + 5x — 2x^{2}\):
\(3 + 5x — 2x^{2} = 0\)
\(-2x^{2} + 5x + 3 = 0\)
\(D = 25 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49\)
\(x_{1} = \frac{-5 — \sqrt{49}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-5 — 7}{-4} = \frac{-12}{-4} = 3\)
\(x_{2} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-5 + 7}{-4} = \frac{2}{-4} = -0{,}5\)
Ответ: \([-0{,}5; 3]\)

3) \(y = \frac{4}{\sqrt{4 — 3x — x^{2}}}\)
Область определения данной функции — множество решений неравенства \(4 — 3x — x^{2} > 0\).
Имеем: \(4 — 3x — x^{2} > 0\).
Найдём корни квадратного трёхчлена \(4 — 3x — x^{2}\):
\(4 — 3x — x^{2} = 0\)
\(x^{2} + 3x — 4 = 0\)
По теореме Виета:
\(x_{1} + x_{2} = -3\); \(x_{1}x_{2} = -4\);
\(x_{1} = -4\), \(x_{2} = 1\)
Ответ: \((-4; 1)\)

4) \(y = \frac{9}{\sqrt{3x^{2} — 24x}}\)
Область определения данной функции — множество решений неравенства \(3x^{2} — 24x > 0\).
Имеем: \(3x^{2} — 24x > 0\).
Найдём корни квадратного трёхчлена \(3x^{2} — 24x\):
\(3x^{2} — 24x = 0\)
\(3x(x — 8) = 0\)
\(x_{1} = 0\), \(x_{2} = 8\)
Ответ: \((-\infty; 0) \cup (8; +\infty)\)

1) Для функции \(y = \sqrt{3x^{2} — 10x + 3}\) область определения находится как множество всех значений \(x\), при которых выражение под корнем неотрицательно. Это связано с тем, что квадратный корень из отрицательного числа в вещественных числах не определён. Поэтому необходимо решить неравенство \(3x^{2} — 10x + 3 \geq 0\).

Рассмотрим квадратный трёхчлен \(3x^{2} — 10x + 3\). Найдём его корни по формуле: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 3\), \(b = -10\), \(c = 3\). Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле \(D = b^{2} — 4ac = (-10)^{2} — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64\). Корни: \(x_{1} = \frac{10 — 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), \(x_{2} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3\).

Так как коэффициент при \(x^{2}\) положительный, ветви параболы направлены вверх. Значит, неравенство \(3x^{2} — 10x + 3 \geq 0\) выполняется при \(x \leq \frac{1}{3}\) и \(x \geq 3\). Таким образом, область определения функции: \((-\infty; \frac{1}{3}] \cup [3; +\infty)\).

2) Для функции \(y = \sqrt{3 + 5x — 2x^{2}}\) область определения находится аналогично, через решение неравенства \(3 + 5x — 2x^{2} \geq 0\). Это выражение также представляет собой квадратный трёхчлен, только коэффициент при \(x^{2}\) отрицательный, то есть ветви параболы направлены вниз.

Находим корни уравнения \(3 + 5x — 2x^{2} = 0\). Преобразуем: \(-2x^{2} + 5x + 3 = 0\). Дискриминант: \(D = 5^{2} — 4 \cdot (-2) \cdot 3 = 25 + 24 = 49\). Корни: \(x_{1} = \frac{-5 — 7}{-4} = \frac{-12}{-4} = 3\), \(x_{2} = \frac{-5 + 7}{-4} = \frac{2}{-4} = -0{,}5\).

Поскольку ветви параболы вниз, неравенство выполняется между корнями, то есть \(x \in [-0{,}5; 3]\). Значит, область определения функции: \([-0{,}5; 3]\).

3) Для функции \(y = \frac{4}{\sqrt{4 — 3x — x^{2}}}\) область определения определяется условиями: выражение под корнем должно быть строго положительным, так как оно находится в знаменателе и не может обращаться в ноль. Решаем неравенство \(4 — 3x — x^{2} > 0\).

Запишем уравнение: \(4 — 3x — x^{2} = 0\), или \(x^{2} + 3x — 4 = 0\). По теореме Виета: сумма корней \(x_{1} + x_{2} = -3\), произведение \(x_{1}x_{2} = -4\). Корни: \(x_{1} = -4\), \(x_{2} = 1\).

Так как коэффициент при \(x^{2}\) положительный, ветви параболы вверх, и выражение положительно между корнями: \(x \in (-4; 1)\). Таким образом, область определения функции: \((-4; 1)\).

4) Для функции \(y = \frac{9}{\sqrt{3x^{2} — 24x}}\) область определения также определяется условием, что выражение под корнем в знаменателе строго больше нуля. Решаем неравенство \(3x^{2} — 24x > 0\).

Рассмотрим уравнение: \(3x^{2} — 24x = 0\), или \(3x(x — 8) = 0\). Корни: \(x_{1} = 0\), \(x_{2} = 8\).

Так как коэффициент при \(x^{2}\) положительный, ветви параболы вверх, выражение больше нуля при \(x < 0\) и \(x > 8\). Значит, область определения функции: \((-\infty; 0) \cup (8; +\infty)\).