ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 12 Номер 13 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) уравнение \(x^2 + ax + 2a = 0\) имеет хотя бы один корень?

\(x^2 + ax + 2a = 0.\)

Квадратное уравнение имеет хотя бы один корень, если его дискриминант \(D \geq 0\).

Имеем: \(D = a^2 — 4 \cdot 2a = a^2 — 8a\).

Тогда: \(a^2 — 8a \geq 0\).

Найдем корни квадратного трехчлена \(a^2 — 8a\):

\(a^2 — 8a = 0\)

\(a(a — 8) = 0\)

\(a_1 = 0\), \(a_2 = 8\).

Изобразим схематично график функции \(y = a^2 — 8a\) и отметим множество решений данного неравенства:

Ответ: при \(a \in (-\infty; 0] \cup [8; +\infty)\).

Рассмотрим уравнение \(x^2 + ax + 2a = 0\). Это квадратное уравнение, в котором коэффициенты зависят от параметра \(a\). Чтобы определить, при каких значениях \(a\) уравнение имеет хотя бы один корень, необходимо рассмотреть условие существования корней квадратного уравнения. Квадратное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен, то есть \(D \geq 0\). Дискриминант для уравнения вида \(x^2 + ax + 2a = 0\) вычисляется по формуле: \(D = a^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2a\). Подставляя коэффициенты, получаем \(D = a^2 — 8a\).

Далее необходимо решить неравенство \(a^2 — 8a \geq 0\), чтобы найти все значения параметра \(a\), при которых уравнение имеет хотя бы один корень. Это квадратное неравенство, которое можно решить стандартным способом: сначала находим его корни, приравнивая выражение к нулю. Получаем \(a^2 — 8a = 0\), откуда \(a(a — 8) = 0\). Следовательно, \(a_1 = 0\) и \(a_2 = 8\). Теперь определим знаки выражения \(a^2 — 8a\) на числовой прямой. Поскольку коэффициент при \(a^2\) положительный, ветви параболы направлены вверх, значит выражение будет неотрицательным при \(a \leq 0\) и \(a \geq 8\).

Таким образом, множество решений неравенства \(a^2 — 8a \geq 0\) состоит из двух промежутков: \(a \in (-\infty; 0]\) и \(a \in [8; +\infty)\). Это означает, что при всех значениях параметра \(a\), принадлежащих этим промежуткам, исходное квадратное уравнение \(x^2 + ax + 2a = 0\) будет иметь хотя бы один корень. Если \(a\) принадлежит промежутку \((0; 8)\), то дискриминант становится отрицательным, и уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, окончательный ответ: при \(a \in (-\infty; 0] \cup [8; +\infty)\).