ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 12 Номер 14 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) уравнение \(x^2 — (a — 5)x + 1 = 0\) не имеет корней?

Уравнение не имеет корней, если его дискриминант меньше нуля:
\(D = (a — 5)^2 — 4 \cdot 1 < 0\)
\((a — 5)^2 — 4 < 0\)
\((a — 5)^2 < 4\)
\(-2 < a — 5 < 2\)
\(3 < a < 7\)

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра \(a\) квадратное уравнение \(x^2 — (a — 5)x + 1 = 0\) не имеет корней, необходимо рассмотреть условие, при котором квадратное уравнение не имеет действительных решений. Это происходит тогда, когда дискриминант уравнения меньше нуля. Дискриминант квадратного уравнения вида \(x^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 — 4c\).

В нашем случае коэффициент при \(x\) равен \(-(a-5)\), а свободный член равен \(1\). Следовательно, дискриминант будет равен:
\(D = (-(a-5))^2 — 4 \cdot 1 = (a-5)^2 — 4\).
Чтобы уравнение не имело корней, требуется, чтобы \(D < 0\), то есть:
\((a-5)^2 — 4 < 0\).

Рассмотрим неравенство \((a-5)^2 — 4 < 0\). Перенесём 4 в правую часть:
\((a-5)^2 < 4\).
Теперь извлечём корень из обеих частей неравенства. Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, решаем двойное неравенство:
\(-2 < a-5 < 2\).
Далее прибавим 5 ко всем частям неравенства, чтобы выразить его через \(a\):
\(3 < a < 7\).

Таким образом, уравнение \(x^2 — (a — 5)x + 1 = 0\) не имеет действительных корней при любых значениях параметра \(a\), принадлежащих интервалу \(3 < a < 7\). Это означает, что если \(a\) будет больше 3, но меньше 7, дискриминант уравнения будет отрицательным, и множество решений будет равно \(\emptyset\).