ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 12 Номер 16 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \( y = \frac{5}{\sqrt{x^2 + 3x — 10}} + \frac{6}{2x — 8} \);

2) \( y = \frac{1}{\sqrt{3 — 5x — 2x^2}} + \sqrt{x + 1} \);

3) \( y = \sqrt{12 + 4x — x^2} — \frac{x — 5}{x^2 + 3x} \).

1) \( y = \frac{5}{\sqrt{x^{2} + 3x — 10}} + \frac{6}{2x — 8} \)

Область определения данной функции – множество решений системы неравенств \( x^{2} + 3x — 10 > 0 \), \( 2x — 8 \neq 0 \).

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^{2} + 3x — 10 \): \( x^{2} + 3x — 10 = 0 \).

По теореме Виета: \( x_{1} + x_{2} = -3 \), \( x_{1}x_{2} = -10 \); \( x_{1} = -5 \), \( x_{2} = 2 \).

Таким образом, \( x^{2} + 3x — 10 > 0 \) при \( x \in (-\infty; -5) \cup (2; +\infty) \).

Но, \( 2x — 8 \neq 0 \), то есть, \( x \neq 4 \).

Следовательно, область определения данной функции при \( x \in (-\infty; -5) \cup (2; 4) \cup (4; +\infty) \).

Ответ: при \( x \in (-\infty; -5) \cup (2; 4) \cup (4; +\infty) \).

2) \( y = \frac{1}{\sqrt{3 — 5x — 2x^{2}}} + \sqrt{x + 1} \)

Область определения данной функции – множество решений системы неравенств \( 3 — 5x — 2x^{2} > 0 \), \( x + 1 \geq 0 \).

Найдем корни квадратного трехчлена \( 3 — 5x — 2x^{2} \): \( 3 — 5x — 2x^{2} = 0 \), \( 2x^{2} + 5x — 3 = 0 \).

\( D = 25 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 \).

\( x_{1} = \frac{-5 — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 — 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \);

\( x_{2} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0{,}5 \).

Таким образом, \( 3 — 5x — 2x^{2} > 0 \) при \( x \in (-3; 0{,}5) \).

Но, \( x + 1 \geq 0 \), то есть, \( x \geq -1 \).

Следовательно, область определения данной функции при \( x \in [-1; 0{,}5) \).

Ответ: при \( x \in [-1; 0{,}5) \).

3) \( y = \sqrt{12 + 4x — x^{2}} — \frac{x — 5}{x^{2} + 3x} \)

Область определения данной функции – множество решений системы неравенств \( 12 + 4x — x^{2} \geq 0 \), \( x^{2} + 3x \neq 0 \).

Найдем корни квадратного трехчлена \( 12 + 4x — x^{2} \): \( 12 + 4x — x^{2} = 0 \), \( x^{2} — 4x — 12 = 0 \).

По теореме Виета: \( x_{1} + x_{2} = 4 \), \( x_{1}x_{2} = -12 \); \( x_{1} = -2 \), \( x_{2} = 6 \).

Таким образом, \( 12 + 4x — x^{2} \geq 0 \) при \( x \in [-2; 6] \).

Но, \( x^{2} + 3x \neq 0 \), то есть, \( x \neq 0 \) и \( x \neq -3 \).

Следовательно, область определения данной функции при \( x \in [-2; 0) \cup (0; 6] \).

Ответ: при \( x \in [-2; 0) \cup (0; 6] \).

1) Для того чтобы найти область определения функции \( y = \frac{5}{\sqrt{x^{2} + 3x — 10}} + \frac{6}{2x — 8} \), необходимо проанализировать, при каких значениях переменной \( x \) выражение под корнем и в знаменателе не приводит к невозможным математическим операциям. В первую очередь, выражение \( x^{2} + 3x — 10 \) находится под знаком квадратного корня, а значит, оно должно быть строго больше нуля, так как корень из отрицательного числа не определён на множестве действительных чисел. Следовательно, записываем первое ограничение: \( x^{2} + 3x — 10 > 0 \). Второе ограничение связано со знаменателем второй дроби, где \( 2x — 8 \neq 0 \), иначе произойдёт деление на ноль, что также не определено.

Рассмотрим первое неравенство \( x^{2} + 3x — 10 > 0 \). Найдём корни квадратного трёхчлена: решаем уравнение \( x^{2} + 3x — 10 = 0 \). По теореме Виета: сумма корней \( x_{1} + x_{2} = -3 \), произведение корней \( x_{1}x_{2} = -10 \). Решая это уравнение, получаем корни \( x_{1} = -5 \), \( x_{2} = 2 \). Квадратичная функция положительна вне промежутка между корнями, то есть при \( x \in (-\infty; -5) \cup (2; +\infty) \). Теперь рассмотрим второе ограничение: \( 2x — 8 \neq 0 \), то есть \( x \neq 4 \).

Объединяя оба условия, получаем, что область определения функции состоит из значений \( x \), которые одновременно удовлетворяют обоим ограничениям. На промежутке \( x \in (-\infty; -5) \) значение \( x = 4 \) не попадает, поэтому ограничение не влияет. На промежутке \( x \in (2; +\infty) \) нужно исключить точку \( x = 4 \), так как при ней знаменатель второй дроби равен нулю. Таким образом, окончательно область определения функции: \( x \in (-\infty; -5) \cup (2; 4) \cup (4; +\infty) \).

2) Для функции \( y = \frac{1}{\sqrt{3 — 5x — 2x^{2}}} + \sqrt{x + 1} \) также требуется определить значения \( x \), при которых выражения под корнем и в знаменателе допустимы. Первая дробь содержит квадратный корень в знаменателе, значит, выражение \( 3 — 5x — 2x^{2} \) должно быть строго больше нуля, иначе либо корень не определён, либо произойдёт деление на ноль. Второе слагаемое содержит корень \( \sqrt{x + 1} \), который определён только при \( x + 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq -1 \).

Рассмотрим неравенство \( 3 — 5x — 2x^{2} > 0 \). Решим соответствующее квадратное уравнение \( 3 — 5x — 2x^{2} = 0 \). Преобразуем: \( 2x^{2} + 5x — 3 = 0 \). Находим дискриминант: \( D = 25 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 \). Корни уравнения: \( x_{1} = \frac{-5 — 7}{4} = -3 \), \( x_{2} = \frac{-5 + 7}{4} = 0{,}5 \). Квадратичная функция положительна между корнями, то есть при \( x \in (-3; 0{,}5) \). Теперь учтём второе ограничение \( x \geq -1 \).

Искомая область определения — пересечение двух множеств: \( x \in (-3; 0{,}5) \) и \( x \geq -1 \). Пересечение этих промежутков даёт \( x \in [-1; 0{,}5) \), так как левая граница ограничивается значением \( -1 \), а правая — \( 0{,}5 \), не включая её, так как при \( x = 0{,}5 \) выражение под корнем обращается в ноль, что приводит к делению на ноль в первом слагаемом.

3) Для функции \( y = \sqrt{12 + 4x — x^{2}} — \frac{x — 5}{x^{2} + 3x} \) область определения определяется двумя условиями: выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель второй дроби отличен от нуля. Первое ограничение: \( 12 + 4x — x^{2} \geq 0 \). Второе: \( x^{2} + 3x \neq 0 \).

Рассмотрим первое неравенство. Решим уравнение \( 12 + 4x — x^{2} = 0 \). Приведём к стандартному виду: \( x^{2} — 4x — 12 = 0 \). По теореме Виета: сумма корней \( x_{1} + x_{2} = 4 \), произведение \( x_{1}x_{2} = -12 \). Корни: \( x_{1} = -2 \), \( x_{2} = 6 \). Квадратичная функция неотрицательна на промежутке между корнями, то есть при \( x \in [-2; 6] \). Второе ограничение: \( x^{2} + 3x \neq 0 \), то есть \( x \neq 0 \) и \( x \neq -3 \).

Область определения — множество значений \( x \in [-2; 6] \), исключая точки \( x = 0 \) и \( x = -3 \). Так как \( x = -3 \) лежит вне промежутка \( [-2; 6] \), исключаем только \( x = 0 \). Окончательно: \( x \in [-2; 0) \cup (0; 6] \).