ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 12 Номер 19 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) неравенство \(3x^2 + ax — a > 0\) выполняется при всех действительных значениях \(x\)?

\(3x^2 + ax — a > 0.\)
Если квадратичная функция \(y = ax^2 + bx + c\) принимает только положительные значения, то ее график схематически имеет такой вид:
(рисунок параболы, не пересекающей ось \(x\))
То есть, парабола не пересекает ось \(x\), значит, \(D < 0.\)
Имеем:
\(3x^2 + ax — a = 0\)
\(D = a^2 + 4 \cdot 3 \cdot (-a) = a^2 — 12a.\)
Тогда:
\(a^2 — 12a < 0.\)
Имеем:
\(a^2 — 12a = 0\)
\(a(a — 12) = 0\)
\(a_1 = 0, \quad a_2 = 12.\)
Таким образом, данное неравенство выполняется при \(a \in (0; 12).\)
Ответ: при \(a \in (0; 12).\)

Рассмотрим неравенство \(3x^2 + ax — a > 0\). Это неравенство связано с квадратичной функцией \(y = 3x^2 + ax — a\). Чтобы понять, при каких значениях параметра \(a\) оно выполняется для всех действительных \(x\), нужно проанализировать свойства этой квадратичной функции. Квадратичная функция при коэффициенте при \(x^2\) положительном графически изображается в виде параболы, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы функция была положительной при всех \(x\), парабола не должна пересекать ось \(x\), то есть уравнение \(3x^2 + ax — a = 0\) не должно иметь действительных корней. Это возможно, если дискриминант уравнения отрицателен.

Вычислим дискриминант \(D\) для уравнения \(3x^2 + ax — a = 0\). По формуле дискриминанта для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 3\), \(b = a\), \(c = -a\), получаем \(D = b^2 — 4ac = a^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-a) = a^2 + 12a\). Для того чтобы парабола не пересекала ось \(x\), необходимо, чтобы дискриминант был меньше нуля, то есть \(a^2 + 12a < 0\). Решим это неравенство.

Разложим выражение \(a^2 + 12a\) на множители: \(a^2 + 12a = a(a + 12)\). Теперь рассмотрим знаки произведения \(a(a + 12)\). Произведение отрицательно, когда множители имеют разные знаки. Значит, либо \(a < 0\) и \(a + 12 > 0\), либо \(a > 0\) и \(a + 12 < 0\). Второй вариант невозможен, потому что если \(a > 0\), то \(a + 12 > 0\). Следовательно, \(a\) должно быть в интервале от \(-12\) до \(0\), то есть \(a \in (-12; 0)\). При этих значениях параметра \(a\) квадратичная функция \(3x^2 + ax — a\) принимает только положительные значения при всех \(x\), а значит, исходное неравенство выполняется для всех действительных чисел.