ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 12 Номер 20 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) неравенство \(-5x^2 + (a — 2)x — 5 > 0\) не имеет решений?

\(-5x^2 + (a — 2)x — 5 \geq 0.\)
Квадратное уравнение не имеет корней, если его дискриминант \(D < 0.\)
Имеем:
\(-5x^2 + (a — 2)x — 5 = 0\)
\(D = (a — 2)^2 — 4 \cdot (-5) \cdot (-5) = a^2 — 4a + 4 — 100 = a^2 — 4a — 96.\)
Тогда:
\(a^2 — 4a — 96 < 0.\)
Найдем корни квадратного трехчлена \(a^2 — 4a — 96:\)
\(a^2 — 4a — 96 = 0.\)
По теореме Виета:
\(a_1 + a_2 = 4;\quad a_1 a_2 = -96;\)
\(a_1 = -8,\quad a_2 = 12.\)
Таким образом, данное неравенство не имеет решений при \(a \in (-8; 12).\)
Ответ: при \(a \in (-8; 12).\)

Рассмотрим неравенство \(-5x^2 + (a — 2)x — 5 > 0\). Для того чтобы понять, при каких значениях параметра \(a\) это неравенство не имеет решений, сначала обратим внимание на соответствующее квадратное уравнение \(-5x^2 + (a — 2)x — 5 = 0\). Корни этого уравнения определяют критические точки, где выражение может менять знак. Если уравнение не имеет корней, значит, парабола не пересекает ось \(x\), и знак выражения остается постоянным на всей числовой оси. Поскольку коэффициент при \(x^2\) отрицательный (\(-5 < 0\)), график параболы направлен вниз, и если нет корней, то парабола располагается либо полностью ниже оси \(x\), либо полностью выше. Чтобы неравенство \(-5x^2 + (a — 2)x — 5 > 0\) не имело решений, парабола должна лежать полностью ниже оси \(x\), то есть выражение должно быть всегда отрицательным или равным нулю.

Для определения наличия корней уравнения используем дискриминант \(D\). Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = -5\), \(b = a — 2\), \(c = -5\). Подставим:
\(D = (a — 2)^2 — 4 \cdot (-5) \cdot (-5) = (a — 2)^2 — 100.\)
Раскроем скобки:
\((a — 2)^2 = a^2 — 4a + 4,\)
поэтому
\(D = a^2 — 4a + 4 — 100 = a^2 — 4a — 96.\)
Чтобы уравнение не имело корней, дискриминант должен быть меньше нуля, то есть
\(a^2 — 4a — 96 < 0.\)
Это квадратное неравенство относительно \(a\), которое нужно решить.

Решим неравенство \(a^2 — 4a — 96 < 0\). Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения \(a^2 — 4a — 96 = 0\). Используем теорему Виета: сумма корней равна \(-b/a = 4\), произведение корней равно \(c/a = -96\). Найдем корни:
\(a_1 = -8,\)
\(a_2 = 12.\)
Поскольку коэффициент при \(a^2\) положительный, парабола направлена вверх, и неравенство \(a^2 — 4a — 96 < 0\) выполняется между корнями, то есть при \(a \in (-8; 12)\). Это означает, что для всех значений \(a\) из интервала \((-8; 12)\) дискриминант отрицателен, и уравнение \(-5x^2 + (a — 2)x — 5 = 0\) не имеет корней. Значит, исходное неравенство \(-5x^2 + (a — 2)x — 5 > 0\) не имеет решений при \(a \in (-8; 12)\).