ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 12 Номер 3 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

На рисунке изображён график функции \(y = -x^2 — 2x + 3\). Используя рисунок, установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и множествами их решений, записанными в правом столбце, указав в таблице под каждой буквой соответствующий номер.

А) \(-x^2 — 2x + 3 > 0\) 1) \((?; -3) \cup (1; +?)\)

Б) \(-x^2 — 2x + 3 \geq 0\) 2) \((-3; 1)\)

В) \(-x^2 — 2x + 3 < 0\) 3) \((?; -3] \cup [1; +?)\)

Г) \(-x^2 — 2x + 3 \leq 0\) 4) \([-3; 1]\)

А) \(-x^{2} — 2x + 3 > 0\) при \(x \in (-3; 1)\);

Б) \(-x^{2} — 2x + 3 \geq 0\) при \(x \in (-3; 1)\);

В) \(-x^{2} — 2x + 3 < 0\) при \(x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)\);

Г) \(-x^{2} — 2x + 3 \leq 0\) при \(x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)\).

Тогда:

Для анализа каждого неравенства рассмотрим квадратный трёхчлен \(-x^{2} — 2x + 3\). Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при \(x^{2}\) отрицательный. Найдём её корни: решим уравнение \(-x^{2} — 2x + 3 = 0\), то есть \(x^{2} + 2x — 3 = 0\). По формуле дискриминанта: \(D = 2^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\). Корни: \(x_{1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1\), \(x_{2} = \frac{-2 — 4}{2} = -3\). Значит, парабола пересекает ось \(x\) в точках \(x = -3\) и \(x = 1\).

Рассмотрим неравенство \(-x^{2} — 2x + 3 > 0\). Это означает, что значения функции выше оси \(x\), то есть между корнями. Так как ветви параболы вниз, выражение положительно в промежутке \(x \in (-3; 1)\). Поэтому для пункта А ответ: \(2\).

Для неравенства \(-x^{2} — 2x + 3 \geq 0\) значения функции на оси \(x\) и выше, то есть включаем корни, где функция равна нулю. Значит, множество решений: \(x \in [-3; 1]\). Для пункта Б ответ: \(4\).

Для неравенства \(-x^{2} — 2x + 3 < 0\) значения функции ниже оси \(x\), то есть вне промежутка между корнями. Это объединение интервалов слева и справа от корней: \(x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)\). Для пункта В ответ: \(1\).

Для неравенства \(-x^{2} — 2x + 3 \leq 0\) значения функции на оси \(x\) и ниже, включаем точки \(x = -3\) и \(x = 1\). Тогда множество решений: \(x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)\). Для пункта Г ответ: \(3\).