ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 12 Номер 4 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

На рисунке изображён график функции \(y = x^2 — 6x + 9\). Используя рисунок, установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и множествами их решений, записанными в правом столбце, указав в таблице под каждой буквой соответствующий номер.

А) \(x^2 — 6x + 9 > 0\) 1) \((-\infty; 3) \cup (3; +\infty)\)

Б) \(x^2 — 6x + 9 \geq 0\) 2) \((-\infty; +\infty)\)

В) \(x^2 — 6x + 9 < 0\) 3) \(\emptyset\)

Г) \(x^2 — 6x + 9 = 0\) 4) \(\{3\}\)

А) \(x^2 — 6x + 9 > 0\) при \(x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)\)

Б) \(x^2 — 6x + 9 \geq 0\) при \(x \in (-\infty; +\infty)\)

В) \(x^2 — 6x + 9 < 0\) при \(x \in \emptyset\)

Г) \(x^2 — 6x + 9 \leq 0\) при \(x \in \{3\}\)

Рассмотрим функцию \(y = x^2 — 6x + 9\). Это квадратная функция, графиком которой является парабола. Коэффициенты при \(x^2\) равны 1, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Раскроем скобки: \(x^2 — 6x + 9\) можно представить как \((x — 3)^2\). Таким образом, вершина параболы находится в точке \(x = 3\), а значение функции в этой точке равно нулю: \((3 — 3)^2 = 0\). Парабола касается оси \(x\) только в одной точке \(x = 3\), и нигде не пересекает её. Для всех остальных значений \(x\) функция принимает положительные значения, поскольку квадрат любого ненулевого числа всегда положителен.

Рассмотрим каждое неравенство подробно. Неравенство \(x^2 — 6x + 9 > 0\) выполняется тогда, когда выражение \((x — 3)^2 > 0\), то есть для всех \(x\), кроме точки \(x = 3\). Это множество можно записать как \(x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)\). Неравенство \(x^2 — 6x + 9 \geq 0\) выполняется для всех \(x\), так как квадрат любого числа неотрицателен, то есть \(x \in (-\infty; +\infty)\). Неравенство \(x^2 — 6x + 9 < 0\) не имеет решений, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, значит множество решений — пустое множество, то есть \(x \in \emptyset\). Неравенство \(x^2 — 6x + 9 \leq 0\) выполняется только в точке \(x = 3\), где квадрат равен нулю, то есть \(x \in \{3\}\).

В итоговой таблице соответствие между неравенствами и множествами их решений выглядит следующим образом:

Таким образом, для каждого неравенства подобрано своё множество решений, основываясь на свойствах квадратичной функции и особенностях её графика. Парабола касается оси \(x\) только в одной точке, а во всех остальных точках функции принимает строго положительные значения, что и определяет решения данных неравенств.