ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 12 Номер 5 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

На рисунке изображён график функции \(y = x^2 + 4x\). Используя рисунок, запишите возле каждого неравенства множество его решений.

1) \(x^2 + 4x > 0\)
2) \(x^2 + 4x \geq 0\)
3) \(x^2 + 4x < 0\)
4) \(x^2 + 4x \leq 0\)

А) \(x^2 + 4x > 0\) при \(x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty)\);

Б) \(x^2 + 4x \geq 0\) при \(x \in (-\infty; -4] \cup [0; +\infty)\);

В) \(x^2 + 4x < 0\) при \(x \in (-4; 0)\);

Г) \(x^2 + 4x \leq 0\) при \(x \in [-4; 0]\).

Рассмотрим функцию \(y = x^2 + 4x\). Это квадратная функция, то есть парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) равен \(1\) и положителен. Найдём её нули, то есть значения \(x\), при которых \(y = 0\). Решим уравнение \(x^2 + 4x = 0\). Вынесем \(x\) за скобку: \(x(x + 4) = 0\). Отсюда два корня: \(x = 0\) и \(x = -4\). Это точки пересечения графика с осью \(Ox\). Между этими точками парабола располагается ниже оси \(Ox\), а вне этих точек — выше.

Для неравенства \(x^2 + 4x > 0\) требуется найти такие значения \(x\), при которых значение функции положительно, то есть выше оси \(Ox\). Это происходит при \(x < -4\) и \(x > 0\), то есть при \(x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty)\). Для неравенства \(x^2 + 4x \geq 0\) учитываются также точки, где функция равна нулю, то есть \(x = -4\) и \(x = 0\), поэтому множество решений: \(x \in (-\infty; -4] \cup [0; +\infty)\).

Для неравенства \(x^2 + 4x < 0\) ищем такие значения \(x\), при которых значение функции отрицательно, то есть ниже оси \(Ox\). Это происходит между корнями, то есть при \(x \in (-4; 0)\). Для неравенства \(x^2 + 4x \leq 0\) в множество решений включаются сами точки \(x = -4\) и \(x = 0\), так как в них функция равна нулю, поэтому \(x \in [-4; 0]\).

Функция \(y = x^2 + 4x\) симметрична относительно вертикальной прямой \(x = -2\), которая является её осью симметрии, а вершина параболы находится в точке \(x = -2\). Значения \(x\), при которых функция положительна или отрицательна, определяются именно положением относительно корней \(x = -4\) и \(x = 0\). На промежутках \(x < -4\) и \(x > 0\) функция возрастает, а на промежутке между корнями убывает, достигая минимума в вершине параболы.