ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 12 Номер 6 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Решите неравенство:
1) \(x^2 — 3x — 4 > 0\);
2) \(-x^2 + 3x — 2 > 0\);
3) \(4x^2 — 9x — 9 \,?\, 0\);
4) \(5x^2 — 4x + 1 > 0\);
5) \(2x^2 — 3x + 4 < 0\);
6) \(7x^2 \,?\, 35x\);
7) \(2x^2 — x — 2 \,?\, 0\);
8) \(x^2 \,?\, 10\).

1) \(x^{2} — 3x — 4 > 0\)
\(x^{2} — 3x — 4 = 0\)
\(x_{1} = -1\), \(x_{2} = 4\)
\((-\infty; -1) \cup (4; +\infty)\)

2) \(-x^{2} + 3x — 2 > 0\)
\(-x^{2} + 3x — 2 = 0\)
\(x^{2} — 3x + 2 = 0\)
\(x_{1} = 1\), \(x_{2} = 2\)
\((1; 2)\)

3) \(4x^{2} — 9x — 9 \leq 0\)
\(4x^{2} — 9x — 9 = 0\)
\(D = 225\)
\(x_{1} = \frac{9 — \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{9 — 15}{8} = -\frac{6}{8} = -0{,}75\)
\(x_{2} = \frac{9 + 15}{8} = \frac{24}{8} = 3\)
\((-0{,}75; 3)\)

4) \(5x^{2} — 4x + 1 > 0\)
\(5x^{2} — 4x + 1 = 0\)
\(D = -4 < 0\)
\((-\infty; +\infty)\)

5) \(2x^{2} — 3x + 4 < 0\)
\(2x^{2} — 3x + 4 = 0\)
\(D = -23 < 0\)
\(\emptyset\)

6) \(7x^{2} \leq 35x\)
\(7x^{2} — 35x \leq 0\)
\(7x(x-5) \leq 0\)
\(x_{1} = 0\), \(x_{2} = 5\)
\((0; 5)\)

7) \(2x^{2} — x — 2 \leq 0\)
\(2x^{2} — x — 2 = 0\)
\(D = 17\)
\(x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}\)
\left(\frac{1 — \sqrt{17}}{4}; \frac{1 + \sqrt{17}}{4}\right)

8) \(x^{2} \geq 10\)
\(x^{2} — 10 \geq 0\)
\(x_{1,2} = \pm \sqrt{10}\)
\((-\infty; -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}; +\infty)\)

1) Для решения неравенства \(x^{2} — 3x — 4 > 0\) сначала находим корни квадратного уравнения \(x^{2} — 3x — 4 = 0\). Для этого определяем дискриминант: \(D = (-3)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\). Корни находятся по формуле: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -4\). Подставляем значения: \(x_{1} = \frac{3 — 5}{2} = -1\), \(x_{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4\).

Второй шаг — анализируем знаки параболы. Так как старший коэффициент \(a = 1 > 0\), ветви параболы направлены вверх. Это значит, что выражение \(x^{2} — 3x — 4\) положительно вне промежутка между корнями, то есть при \(x < -1\) и \(x > 4\). На числовой прямой это соответствует интервалам слева от меньшего корня и справа от большего.

Третий шаг — записываем множество решений. Так как неравенство строгое (\(>\)), точки \(x = -1\) и \(x = 4\) не входят в ответ. Итоговое множество решений: \((-\infty; -1) \cup (4; +\infty)\).

2) Для неравенства \(-x^{2} + 3x — 2 > 0\) перепишем его как \(-x^{2} + 3x — 2 = 0\). Переносим все члены в одну сторону: \(x^{2} — 3x + 2 = 0\). Вычисляем дискриминант: \(D = (-3)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\). Находим корни: \(x_{1} = \frac{3 — 1}{2} = 1\), \(x_{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2\).

Поскольку коэффициент при \(x^{2}\) отрицательный (\(a = -1\)), ветви параболы направлены вниз. Значит, выражение \(-x^{2} + 3x — 2\) положительно между корнями, то есть на интервале от меньшего корня к большему.

Так как неравенство строгое (\(>\)), сами точки \(x = 1\) и \(x = 2\) не входят в ответ. Множество решений: \((1; 2)\).

3) Для неравенства \(4x^{2} — 9x — 9 \leq 0\) находим корни уравнения \(4x^{2} — 9x — 9 = 0\). Дискриминант: \(D = (-9)^{2} — 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225\). Корни: \(x_{1} = \frac{9 — 15}{8} = -0{,}75\), \(x_{2} = \frac{9 + 15}{8} = 3\).

Коэффициент при \(x^{2}\) положительный (\(a = 4 > 0\)), ветви параболы вверх. Неравенство непStrict (\(\leq\)), поэтому включаем точки \(x = -0{,}75\) и \(x = 3\). Решения находятся между корнями: \([-0{,}75; 3]\).

4) Для неравенства \(5x^{2} — 4x + 1 > 0\) находим корни уравнения \(5x^{2} — 4x + 1 = 0\). Дискриминант: \(D = (-4)^{2} — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 16 — 20 = -4\). Дискриминант отрицательный, корней нет, а коэффициент при \(x^{2}\) положительный (\(a = 5 > 0\)). Значит, парабола всегда выше оси \(x\), то есть выражение всегда положительно.

Ответ — множество всех действительных чисел: \((-\infty; +\infty)\).

5) Для неравенства \(2x^{2} — 3x + 4 < 0\) решаем уравнение \(2x^{2} — 3x + 4 = 0\). Дискриминант: \(D = (-3)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 — 32 = -23\), корней нет. Старший коэффициент положительный (\(a = 2 > 0\)), парабола всегда выше оси \(x\), выражение всегда положительно.

Так как требуется отрицательные значения, решений нет: \(\emptyset\).

6) Для неравенства \(7x^{2} \leq 35x\) переносим все члены в одну сторону: \(7x^{2} — 35x \leq 0\). Выносим за скобку: \(7x(x — 5) \leq 0\). Корни: \(x_{1} = 0\), \(x_{2} = 5\).

Коэффициент при \(x^{2}\) положительный (\(a = 7 > 0\)), ветви параболы вверх. Неравенство непStrict (\(\leq\)), поэтому включаем точки \(x = 0\) и \(x = 5\). Решения — промежуток между корнями: \([0; 5]\).

7) Для неравенства \(2x^{2} — x — 2 \leq 0\) решаем уравнение \(2x^{2} — x — 2 = 0\). Дискриминант: \(D = (-1)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17\). Корни: \(x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}\).

Коэффициент при \(x^{2}\) положительный (\(a = 2 > 0\)), ветви вверх. Неравенство непStrict (\(\leq\)), поэтому включаем найденные корни. Решения — промежуток между корнями: \left(\frac{1 — \sqrt{17}}{4}; \frac{1 + \sqrt{17}}{4}\right).

8) Для неравенства \(x^{2} \geq 10\) переносим всё в одну сторону: \(x^{2} — 10 \geq 0\). Корни: \(x_{1,2} = \pm \sqrt{10}\).

Коэффициент при \(x^{2}\) положительный (\(a = 1 > 0\)), ветви вверх. Значения выражения положительны при \(x < -\sqrt{10}\) и \(x > \sqrt{10}\), а так как неравенство непStrict (\(\geq\)), включаем точки \(-\sqrt{10}\) и \(\sqrt{10}\). Итоговое множество: \((-\infty; -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}; +\infty)\).