ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 12 Номер 7 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Укажите рисунок, на котором изображено множество решений неравенства \(25x^{2} > 49\), записав в ответ номер этого рисунка.

\(
25x^{2} > 49.
\)

\(
\text{Имеем: } 25x^{2} — 49 > 0.
\)

\(
\text{Найдем корни квадратного трехчлена } 25x^{2} — 49:
\)

\(
25x^{2} — 49 = 0
\)

\(
25x^{2} = 49
\)

\(
x^{2} = \frac{49}{25}
\)

\(
x = \pm \frac{7}{5}
\)

\(
x = \pm 1{,}4.
\)

\(
\text{Изобразим схематично график функции } y = 25x^{2} — 49:
\)

\(
\text{Ответ: 2.}
\)

Рассмотрим неравенство \(25x^{2} > 49\). Это квадратное неравенство, в котором переменная \(x\) возводится в квадрат и умножается на коэффициент 25, а затем сравнивается с числом 49. Чтобы решить такое неравенство, сначала перенесём 49 в левую часть, чтобы получить стандартную форму квадратного неравенства: \(25x^{2} — 49 > 0\). Теперь задача сводится к нахождению тех значений \(x\), при которых выражение \(25x^{2} — 49\) положительно.

Следующим шагом находим корни соответствующего квадратного уравнения \(25x^{2} — 49 = 0\). Для этого приравниваем выражение к нулю и решаем относительно \(x\):
\(
25x^{2} — 49 = 0
\)
\(
25x^{2} = 49
\)
\(
x^{2} = \frac{49}{25}
\)
\(
x = \pm \frac{7}{5}
\)
\(
x = \pm 1{,}4
\)
Полученные значения \(x = -1{,}4\) и \(x = 1{,}4\) являются точками, в которых выражение \(25x^{2} — 49\) меняет знак, то есть переход от отрицательных значений к положительным и наоборот. Это так называемые «границы интервалов».

Далее, чтобы определить, где выражение \(25x^{2} — 49\) больше нуля, рассмотрим промежутки, которые образуются этими корнями: \(x < -1{,}4\), \(-1{,}4 < x < 1{,}4\), \(x > 1{,}4\). Подставляя значения из каждого промежутка в выражение \(25x^{2} — 49\), замечаем, что на промежутках \(x < -1{,}4\) и \(x > 1{,}4\) выражение положительно, а на промежутке \(-1{,}4 < x < 1{,}4\) — отрицательно. Таким образом, множество решений неравенства: \(x < -1{,}4\) или \(x > 1{,}4\). Если изобразить это на координатной прямой, то решения будут отмечены как две луча, уходящие влево от \(-1{,}4\) и вправо от \(1{,}4\), причём сами точки \(-1{,}4\) и \(1{,}4\) не входят в множество решений, так как неравенство строгое (\(>\), а не \(\geq\)).