ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 12 Номер 8 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Укажите неравенство, множество решений которого изображено на рисунке, записав в ответ номер этого неравенства.
1) \(x^2 — 25 > 0\);
2) \(x^2 — 5x > 0\);
3) \(x^2 — 25 < 0\);
4) \(x^2 — 5x < 0\).

Проверим неравенство \(x^{2} — 5x \geq 0\).

Найдем корни квадратного трехчлена \(x^{2} — 5x\):
\(x^{2} — 5x = 0\)
\(x(x — 5) = 0\)
\(x_{1} = 0\), \(x_{2} = 5\).

Изобразим схематично график функции \(y = x^{2} — 5x\):

Ответ: 2.

Рассмотрим неравенство \(x^{2} — 5x \geq 0\). Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения \(x^{2} — 5x = 0\). Для этого вынесем \(x\) за скобку: \(x(x — 5) = 0\). Получаем два корня: \(x_{1} = 0\) и \(x_{2} = 5\). Таким образом, выражение \(x^{2} — 5x\) обращается в ноль при \(x = 0\) и \(x = 5\).

Теперь рассмотрим знаки выражения \(x^{2} — 5x\) на промежутках, определённых найденными корнями. Для этого разобьём числовую прямую на три интервала: \(x < 0\), \(0 < x < 5\), \(x > 5\). Выберем по одному значению из каждого интервала и подставим в выражение. Например, для \(x < 0\) подставим \(x = -1\): \((-1)^{2} — 5 \cdot (-1) = 1 + 5 = 6\), выражение положительно. Для \(0 < x < 5\) подставим \(x = 1\): \(1^{2} — 5 \cdot 1 = 1 — 5 = -4\), выражение отрицательно. Для \(x > 5\) подставим \(x = 6\): \(6^{2} — 5 \cdot 6 = 36 — 30 = 6\), выражение снова положительно.

Таким образом, решение неравенства \(x^{2} — 5x \geq 0\) включает те значения \(x\), при которых выражение неотрицательно, то есть либо больше нуля, либо равно нулю. Это происходит на промежутках \(x \leq 0\) и \(x \geq 5\). В интервале \(0 < x < 5\) выражение отрицательно, поэтому эти значения не входят в решение. Итоговое множество решений: \(x \leq 0\) или \(x \geq 5\). На графике это изображается как две закрашенные области по обе стороны от точек \(0\) и \(5\), сами точки входят в решение, потому что знак неравенства нестрогий (\(\geq\)).