ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 12 Номер 9 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Решите неравенство:
1) \((x — 3)(2x + 3) < -7\);
2) \((3x — 5)^2 ? (5x — 3)^2\);
3) \((3x — 2)(x + 2) ? 2x^2 + 12\);
4) \((x + 19)(x — 3) — (2x + 1)(2x — 1) ? x — 38\);
5) \(\frac{x^2 — x}{6} + x + 1 > \frac{2x + 9}{3}\);
6) \(\frac{x^2 + 3x}{8} < \frac{x — 1}{4} + \frac{3 — 2x}{2}\).

1) \((x-3)(2x+3)<-7\)
\(2x^2+3x-6x-9+7<0\)
\(2x^2-3x-2<0\)
\(2x^2-3x-2=0\)
\(D=9+4\cdot2\cdot2=25\)
\(x_1=\frac{3-\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{3-5}{4}=\frac{-2}{4}=-0{,}5\)
\(x_2=\frac{3+\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{3+5}{4}=\frac{8}{4}=2\)
\((-0{,}5;2)\)

2) \((3x-5)^2\geq(5x-3)^2\)
\(9x^2-30x+25 \geq 25x^2-30x+9\)
\(9x^2-30x+25-25x^2+30x-9\geq0\)
\(-16x^2+16\geq0\)
\(-16x^2+16=0\)
\(16x^2=16\)
\(x^2=1\)
\(x_{1,2}=\pm1\)
\([-1;1]\)

3) \((3x-2)(x+3)\geq2x^2+12\)
\(3x^2+9x-2x-6-2x^2-12\geq0\)
\(x^2+7x-18\geq0\)
\(x^2+7x-18=0\)
\(x_1+x_2=-7\)
\(x_1x_2=-18\)
\(x_1=-9\), \(x_2=2\)
\((-\infty;-9]\cup[2;+\infty)\)

4) \((x+19)(x-3)-(2x+1)(2x-1)\leq x-38\)
\(x^2-3x+19x-57-4x^2+1-x+38\leq0\)
\(-3x^2+15x-18\leq0\)
\(|:-3|\)
\(x^2-5x+6\geq0\)
\(x^2-5x+6=0\)
\(x_1+x_2=5\)
\(x_1x_2=6\)
\(x_1=2\), \(x_2=3\)
\((-\infty;2]\cup[3;+\infty)\)

5) \(\frac{x^2-x}{6}+x+1>\frac{2x+9}{3}\)
\((x^2-x)+6(x+1)>2(2x+9)\)
\(x^2-x+6x+6>4x+18\)
\(x^2+5x+6-4x-18>0\)
\(x^2+x-12>0\)
\(x^2+x-12=0\)
\(x_1+x_2=-1\)
\(x_1x_2=-12\)
\(x_1=-4\), \(x_2=3\)
\((-\infty;-4)\cup(3;+\infty)\)

6) \(\frac{x^2+3x}{8}<\frac{x-1}{4}+\frac{3-2x}{2}\)
\((x^2+3x)<2(x-1)+4(3-2x)\)
\(x^2+3x<2x-2+12-8x\)
\(x^2+3x<-6x+10\)
\(x^2+3x+6x-10<0\)
\(x^2+9x-10<0\)
\(x^2+9x-10=0\)
\(x_1+x_2=-9\)
\(x_1x_2=-10\)
\(x_1=-10\), \(x_2=1\)
\((-10;1)\)

1) Для решения неравенства \((x-3)(2x+3)<-7\) сначала раскроем скобки:
\((x-3)(2x+3) = x\cdot2x + x\cdot3 — 3\cdot2x — 3\cdot3 = 2x^2 + 3x — 6x — 9\).
Прибавим 7 к обеим частям, чтобы перенести \(-7\) влево:
\(2x^2 + 3x — 6x — 9 + 7 < 0\).
Упрощаем:
\(2x^2 — 3x — 2 < 0\).
Теперь найдем корни квадратного трехчлена \(2x^2 — 3x — 2\).
Решим уравнение \(2x^2 — 3x — 2 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-3)^2 — 4\cdot2\cdot(-2) = 9 + 16 = 25\).
Корни:
\(x_1 = \frac{3 — \sqrt{25}}{2\cdot2} = \frac{3-5}{4} = -0{,}5\),
\(x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2\cdot2} = \frac{3+5}{4} = 2\).
Так как ветви параболы направлены вверх (коэффициент при \(x^2\) положительный), выражение меньше нуля между корнями:
Ответ: \((-0{,}5;2)\).

2) Неравенство \((3x-5)^2 \geq (5x-3)^2\) решается следующим образом.
Раскроем скобки:
\((3x-5)^2 = 9x^2 — 30x + 25\),
\((5x-3)^2 = 25x^2 — 30x + 9\).
Переносим все в одну сторону:
\(9x^2 — 30x + 25 — 25x^2 + 30x — 9 \geq 0\).
Приводим подобные:
\(-16x^2 + 16 \geq 0\).
Переносим 16:
\(-16x^2 \geq -16\),
или \(x^2 \leq 1\).
Корни:
\(x^2 = 1\),
\(x = 1\), \(x = -1\).
Так как выражение отрицательное вне корней, решение внутри:
Ответ: \([-1;1]\).

3) Для неравенства \((3x-2)(x+3)\geq2x^2+12\) раскроем скобки:
\(3x\cdot x + 3x\cdot3 — 2\cdot x — 2\cdot3 = 3x^2 + 9x — 2x — 6\).
Переносим \(2x^2+12\) влево:
\(3x^2 + 9x — 2x — 6 — 2x^2 — 12 \geq 0\).
Упрощаем:
\(x^2 + 7x — 18 \geq 0\).
Решаем квадратное уравнение \(x^2 + 7x — 18 = 0\).
По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -7\), \(x_1x_2 = -18\),
\(x_1 = -9\), \(x_2 = 2\).
Ветви вверх, решение вне корней:
Ответ: \((-\infty;-9]\cup[2;+\infty)\).

4) Для неравенства \((x+19)(x-3)-(2x+1)(2x-1)\leq x-38\) раскроем скобки:
\((x+19)(x-3) = x^2 — 3x + 19x — 57 = x^2 + 16x — 57\),
\((2x+1)(2x-1) = 4x^2 — 1\).
Итого:
\(x^2 + 16x — 57 — (4x^2 — 1) \leq x — 38\).
Упрощаем:
\(x^2 + 16x — 57 — 4x^2 + 1 — x + 38 \leq 0\),
\(-3x^2 + 15x — 18 \leq 0\).
Домножим на \(-1\):
\(3x^2 — 15x + 18 \geq 0\),
или \(x^2 — 5x + 6 \geq 0\).
Решаем: \(x^2 — 5x + 6 = 0\),
\(x_1 + x_2 = 5\), \(x_1x_2 = 6\),
\(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\).
Ответ: \((-\infty;2]\cup[3;+\infty)\).

5) Для неравенства \(\frac{x^2-x}{6}+x+1>\frac{2x+9}{3}\) приведем к общему знаменателю, умножая обе части на 6:
\(x^2-x+6x+6>4x+18\).
Упрощаем:
\(x^2-x+6x+6-4x-18>0\),
\(x^2+x-12>0\).
Решаем квадратное уравнение \(x^2+x-12=0\):
\(x_1+x_2=-1\), \(x_1x_2=-12\),
\(x_1=-4\), \(x_2=3\).
Парабола вверх, решение вне корней:
Ответ: \((-\infty;-4)\cup(3;+\infty)\).

6) Для неравенства \(\frac{x^2+3x}{8}<\frac{x-1}{4}+\frac{3-2x}{2}\) умножим обе части на 8:
\(x^2+3x<2(x-1)+4(3-2x)\).
Раскрываем скобки:
\(x^2+3x<2x-2+12-8x\),
\(x^2+3x<-6x+10\),
\(x^2+3x+6x-10<0\),
\(x^2+9x-10<0\).
Решаем квадратное уравнение \(x^2+9x-10=0\):
\(x_1+x_2=-9\), \(x_1x_2=-10\),
\(x_1=-10\), \(x_2=1\).
Парабола вверх, решение между корнями:
Ответ: \((-10;1)\).