ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 13 Номер 1 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Решите графически систему уравнений:
1) \(x^2 + y = 0; \quad xy = 8\);
2) \(x^2 — y — 6 = 0; \quad x + y = 0\);
3) \(x^2 — y — 3 = 0; \quad x^2 + y + 1 = 0\);
4) \(x^2 + y^2 = 25; \quad y — 1 = \sqrt{x}\).

1)
\(\begin{cases} x^2 + y = 0 \\ xy = 8 \end{cases}\)
Первое уравнение системы равносильно такому: \(y = -x^2\). Его графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0; 0).
Второе уравнение равносильно такому: \(y = \frac{8}{x}\). Его графиком является гипербола.
Построим в одной системе координат графики данных уравнений. Они пересекаются в точке с координатами (-2; -4). Проведем проверку:
\((-2)^2 + (-4) = 4 — 4 = 0 \to\) верно;
\(-2 \cdot (-4) = 8 \to\) верно.

Ответ: (-2; -4).

2)
\(\begin{cases} x^2 — y — 6 = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}\)
Первое уравнение системы равносильно такому: \(y = x^2 — 6\). Его графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0; -6).
Второе уравнение равносильно такому: \(y = -x\). Его графиком является прямая, проходящая через начало координат.
Построим в одной системе координат графики данных уравнений. Они пересекаются в точках с координатами (-3; 3) и (2; -2).
Проведем проверку:
\((-3)^2 — 3 — 6 = 9 — 9 = 0 \to\) верно;
\(2^2 — (-2) — 6 = 4 + 2 — 6 = 0 \to\) верно;
\(-3 + 3 = 0 \to\) верно;
\(2 + (-2) = 0 \to\) верно.

Ответ: (-3; 3) и (2; -2).

3)
\(\begin{cases} x^2 — y — 3 = 0 \\ x^2 + y + 1 = 0 \end{cases}\)
Первое уравнение системы равносильно такому: \(y = x^2 — 3\). Его графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0; -3).
Второе уравнение равносильно такому: \(y = -x^2 — 1\). Его графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0; -1).
Построим в одной системе координат графики данных уравнений. Они пересекаются в точках с координатами (-1; -2) и (1; -2).
Проведем проверку:
\((-1)^2 — (-2) — 3 = 1 + 2 — 3 = 0 \to\) верно;
\(1^2 — (-2) — 3 = 1 + 2 — 3 = 0 \to\) верно;
\((-1)^2 — 2 + 1 = 1 — 2 + 1 = 0 \to\) верно;
\(1^2 — 2 + 1 = 1 — 2 + 1 = 0 \to\) верно.

Ответ: (-1; -2) и (1; -2).

4)

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y — 1 = \sqrt{x} \end{cases}\)
Графиком первого уравнения системы является окружность с центром в начале координат и радиусом равным 5.
Второе уравнение равносильно такому: \(y = \sqrt{x} + 1\). Его графиком является гипербола.
Построим в одной системе координат графики данных уравнений. Они пересекаются в точке с координатами (4; 3). Проведем проверку:
\(4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \to\) верно;
\(3 — 1 = 2 = \sqrt{4} \to\) верно.
Ответ: (4; 3).

1)
\(\begin{cases} x^2 + y = 0 \\ xy = 8 \end{cases}\)
Первое уравнение системы равносильно такому: \(y = -x^2\). Его графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0; 0).
Второе уравнение равносильно такому: \(y = \frac{8}{x}\). Его графиком является гипербола.
Построим в одной системе координат графики данных уравнений. Они пересекаются в точке с координатами (-2; -4). Проведем проверку:
\((-2)^2 + (-4) = 4 — 4 = 0 \to\) верно;
\(-2 \cdot (-4) = 8 \to\) верно.

Ответ: (-2; -4).

2)
\(\begin{cases} x^2 — y — 6 = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}\)
Первое уравнение системы равносильно такому: \(y = x^2 — 6\). Его графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0; -6).
Второе уравнение равносильно такому: \(y = -x\). Его графиком является прямая, проходящая через начало координат.
Построим в одной системе координат графики данных уравнений. Они пересекаются в точках с координатами (-3; 3) и (2; -2).
Проведем проверку:
\((-3)^2 — 3 — 6 = 9 — 9 = 0 \to\) верно;
\(2^2 — (-2) — 6 = 4 + 2 — 6 = 0 \to\) верно;
\(-3 + 3 = 0 \to\) верно;
\(2 + (-2) = 0 \to\) верно.

Ответ: (-3; 3) и (2; -2).

3)
\(\begin{cases} x^2 — y — 3 = 0 \\ x^2 + y + 1 = 0 \end{cases}\)
Первое уравнение системы равносильно такому: \(y = x^2 — 3\). Его графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0; -3).
Второе уравнение равносильно такому: \(y = -x^2 — 1\). Его графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0; -1).
Построим в одной системе координат графики данных уравнений. Они пересекаются в точках с координатами (-1; -2) и (1; -2).
Проведем проверку:
\((-1)^2 — (-2) — 3 = 1 + 2 — 3 = 0 \to\) верно;
\(1^2 — (-2) — 3 = 1 + 2 — 3 = 0 \to\) верно;
\((-1)^2 — 2 + 1 = 1 — 2 + 1 = 0 \to\) верно;
\(1^2 — 2 + 1 = 1 — 2 + 1 = 0 \to\) верно.

Ответ: (-1; -2) и (1; -2).

4)

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y — 1 = \sqrt{x} \end{cases}\)
Графиком первого уравнения системы является окружность с центром в начале координат и радиусом равным 5.
Второе уравнение равносильно такому: \(y = \sqrt{x} + 1\). Его графиком является гипербола.
Построим в одной системе координат графики данных уравнений. Они пересекаются в точке с координатами (4; 3). Проведем проверку:
\(4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \to\) верно;
\(3 — 1 = 2 = \sqrt{4} \to\) верно.
Ответ: (4; 3).

1)
Рассмотрим систему уравнений:
\(\begin{cases} x^2 + y = 0 \\ xy = 8 \end{cases}\).
Первое уравнение можно преобразовать к виду \(y = -x^2\). Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, так как знак перед \(x^2\) отрицательный. Вершина этой параболы расположена в начале координат (0; 0), что означает, что при \(x = 0\), \(y\) достигает максимума, равного нулю. Парабола симметрична относительно оси \(y\), так как \(y\) зависит от квадрата \(x\).

Второе уравнение \(xy = 8\) можно переписать как \(y = \frac{8}{x}\). Это уравнение гиперболы, которая имеет две ветви, расположенные в разных квадрантах координатной плоскости. График гиперболы не пересекает ось \(y\) и ось \(x\) (исключая точку \(x=0\), где функция не определена). Гипербола будет убывать в первом и третьем квадрантах.

При построении графиков этих двух функций на одной системе координат видно, что они пересекаются в точке с координатами (-2; -4). Для проверки подставим эти значения в исходные уравнения: \( (-2)^2 + (-4) = 4 — 4 = 0\), что удовлетворяет первому уравнению, и \( -2 \cdot (-4) = 8\), что удовлетворяет второму уравнению. Таким образом, решение системы — точка (-2; -4).

2)
Рассмотрим систему:
\(\begin{cases} x^2 — y — 6 = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}\).
Первое уравнение можно переписать как \(y = x^2 — 6\). Это парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный. Вершина параболы находится в точке (0; -6), что означает, что при \(x=0\), \(y\) принимает минимальное значение -6. Парабола симметрична относительно оси \(y\).

Второе уравнение — это уравнение прямой \(y = -x\), которая проходит через начало координат и имеет наклон -1. Эта прямая пересекает оси координат в начале координат, и для каждого значения \(x\), \(y\) равно противоположному значению \(x\).

Построив графики, видим, что парабола и прямая пересекаются в двух точках: (-3; 3) и (2; -2). Проверим эти точки: для (-3; 3) имеем \( (-3)^2 — 3 — 6 = 9 — 9 = 0\) и \(-3 + 3 = 0\), для (2; -2) — \(2^2 — (-2) — 6 = 4 + 2 — 6 = 0\) и \(2 + (-2) = 0\). Обе точки удовлетворяют системе.

3)
Рассмотрим систему:
\(\begin{cases} x^2 — y — 3 = 0 \\ x^2 + y + 1 = 0 \end{cases}\).
Первое уравнение перепишем как \(y = x^2 — 3\). Это парабола, ветви которой направлены вверх, вершина расположена в точке (0; -3). Это значит, что при \(x=0\), \(y\) минимально и равно -3.

Второе уравнение можно переписать как \(y = -x^2 — 1\). Это также парабола, но ветви направлены вниз, так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный. Вершина этой параболы находится в точке (0; -1).

Построив обе параболы, видим, что они пересекаются в двух точках: (-1; -2) и (1; -2). Проверим: для (-1; -2) \( (-1)^2 — (-2) — 3 = 1 + 2 — 3 = 0\) и \( (-1)^2 + (-2) + 1 = 1 — 2 + 1 = 0\). Аналогично для (1; -2). Оба решения удовлетворяют системе.

4)
Рассмотрим систему:
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y — 1 = \sqrt{x} \end{cases}\).
Первое уравнение описывает окружность с центром в начале координат и радиусом 5, так как сумма квадратов координат равна квадрату радиуса. Это значит, что все точки, удовлетворяющие уравнению, лежат на окружности радиуса 5.

Второе уравнение можно переписать как \(y = \sqrt{x} + 1\). Это функция, определённая для \(x \geq 0\), график которой начинается в точке (0; 1) и возрастает, так как корень из \(x\) увеличивается с увеличением \(x\). График представляет собой часть параболы, где \(y\) растёт с ростом \(x\).

Построив графики на одной системе координат, видим, что они пересекаются в точке (4; 3). Проверим: \(4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\), что удовлетворяет уравнению окружности, и \(3 — 1 = 2 = \sqrt{4}\), что удовлетворяет второму уравнению. Таким образом, решение системы — точка (4; 3).