ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 13 Номер 2 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Решите методом подстановки систему уравнений:
1) \( \begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 — y = 1 \end{cases} \)
2) \( \begin{cases} x — y = 4 \\ xy = 12 \end{cases} \)
3) \( \begin{cases} x + 2y = 3 \\ xy — 3y = -2 \end{cases} \)
4) \( \begin{cases} 2x^2 — y^2 = 14 \\ 2x — y = 8 \end{cases} \)

1)
\(\begin{cases}
x + y = 5 \\
x^2 — y = 1
\end{cases}\)
Выразим из первого уравнения переменную \(y\) через переменную \(x\) и подставим полученное выражение во второе уравнение:
\(\begin{cases}
y = 5 — x \\
x^2 — (5 — x) = 1
\end{cases}\)
Решим второе уравнение:
\(x^2 — 5 + x — 1 = 0\)
\(x^2 + x — 6 = 0\).
По теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = -1; \quad x_1 x_2 = -6;\)
\(x_1 = -3, \quad x_2 = 2.\)
Тогда:
\(\begin{cases}
x = -3 \\
y = 5 — (-3) = 8
\end{cases}\),
\(\begin{cases}
x = 2 \\
y = 5 — 2 = 3
\end{cases}\)
Ответ: \((-3; 8)\) и \((2; 3)\).

2)
\(\begin{cases}
x — y = 4 \\
xy = 12
\end{cases}\)
Выразим из первого уравнения переменную \(x\) через переменную \(y\) и подставим полученное выражение во второе уравнение:
\(\begin{cases}
x = 4 + y \\
(4 + y) y = 12
\end{cases}\)
Решим второе уравнение:
\(4y + y^2 — 12 = 0\)
\(y^2 + 4y — 12 = 0\).
По теореме Виета:
\(y_1 + y_2 = -4; \quad y_1 y_2 = -12;\)
\(y_1 = -6, \quad y_2 = 2.\)
Тогда:
\(\begin{cases}
y = -6 \\
x = 4 + (-6) = -2
\end{cases}\),
\(\begin{cases}
y = 2 \\
x = 4 + 2 = 6
\end{cases}\)
Ответ: \((-2; -6)\) и \((6; 2)\).

3)
\(\begin{cases}
x + 2y = 3 \\
xy — 3y = -2
\end{cases}\)
Выразим из первого уравнения переменную \(x\) через переменную \(y\) и подставим полученное выражение во второе уравнение:
\(\begin{cases}
x = 3 — 2y \\
(3 — 2y) y — 3y = -2
\end{cases}\)
Решим второе уравнение:
\(3y — 2y^2 — 3y = -2\)
\(-2y^2 = -2\)
\(y^2 = 1\)
\(y_1 = -1, \quad y_2 = 1.\)
Тогда:
\(\begin{cases}
y = -1 \\
x = 3 — 2 \cdot (-1) = 5
\end{cases}\),
\(\begin{cases}
y = 1 \\
x = 3 — 2 \cdot 1 = 1
\end{cases}\)
Ответ: \((5; -1)\) и \((1; 1)\).

4)
\(\begin{cases}
2x^2 — y^2 = 14 \\
2x — y = 8
\end{cases}\)
Выразим из второго уравнения переменную \(y\) через переменную \(x\) и подставим полученное выражение в первое уравнение:
\(\begin{cases}
2x^2 — (2x — 8)^2 = 14 \\
y = 2x — 8
\end{cases}\)
Решим первое уравнение:
\(2x^2 — (4x^2 — 32x + 64) = 14\)
\(2x^2 — 4x^2 + 32x — 64 — 14 = 0\)
\(-2x^2 + 32x — 78 = 0 \quad | : (-2)\)
\(x^2 — 16x + 39 = 0.\)
По теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = 16; \quad x_1 x_2 = 39;\)
\(x_1 = 3, \quad x_2 = 13.\)
Тогда:
\(\begin{cases}
x = 3 \\
y = 2 \cdot 3 — 8 = -2
\end{cases}\),
\(\begin{cases}
x = 13 \\
y = 2 \cdot 13 — 8 = 18
\end{cases}\)
Ответ: \((3; -2)\) и \((13; 18)\).

1)
Рассмотрим систему уравнений:
\(\begin{cases}
x + y = 5 \\
x^2 — y = 1
\end{cases}\).
Первое уравнение выражает сумму переменных \(x\) и \(y\), а второе связывает квадрат переменной \(x\) с переменной \(y\). Чтобы решить систему, сначала выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Пусть выразим \(y\) через \(x\):
\(y = 5 — x\).
Это позволяет нам подставить данное выражение во второе уравнение, чтобы получить уравнение только с одной переменной \(x\). Подстановка дает:
\(x^2 — (5 — x) = 1\).
Раскроем скобки и упростим:
\(x^2 — 5 + x = 1\).
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\(x^2 + x — 6 = 0\).
Это классическое квадратное уравнение, которое можно решить с помощью теоремы Виета или формулы корней. По теореме Виета сумма корней равна \(-b/a = -1\), а произведение корней равно \(c/a = -6\). Следовательно,
\(x_1 + x_2 = -1\),
\(x_1 x_2 = -6\).
Из этих условий находим корни:
\(x_1 = -3\),
\(x_2 = 2\).
Подставляя найденные значения \(x\) обратно в выражение для \(y\), получаем:
при \(x = -3\), \(y = 5 — (-3) = 8\),
при \(x = 2\), \(y = 5 — 2 = 3\).
Таким образом, решения системы: \((-3; 8)\) и \((2; 3)\).

2)
Рассмотрим систему:
\(\begin{cases}
x — y = 4 \\
xy = 12
\end{cases}\).
Первое уравнение показывает разность между переменными \(x\) и \(y\), второе — произведение этих переменных. Для удобства выразим переменную \(x\) через \(y\) из первого уравнения:
\(x = 4 + y\).
Подставим это выражение во второе уравнение:
\((4 + y) y = 12\).
Раскроем скобки:
\(4y + y^2 = 12\).
Перенесём все члены в левую часть для получения квадратного уравнения:
\(y^2 + 4y — 12 = 0\).
По теореме Виета сумма корней равна \(-4\), а произведение корней равно \(-12\):
\(y_1 + y_2 = -4\),
\(y_1 y_2 = -12\).
Корни уравнения:
\(y_1 = -6\),
\(y_2 = 2\).
Подставляя эти значения в выражение для \(x\), получаем:
при \(y = -6\), \(x = 4 + (-6) = -2\),
при \(y = 2\), \(x = 4 + 2 = 6\).
Ответ: \((-2; -6)\) и \((6; 2)\).

3)
Рассмотрим систему:
\(\begin{cases}
x + 2y = 3 \\
xy — 3y = -2
\end{cases}\).
Первое уравнение представляет линейную связь между \(x\) и \(y\), второе — более сложное выражение с произведением и вычитанием. Выразим \(x\) через \(y\) из первого уравнения:
\(x = 3 — 2y\).
Подставим это выражение во второе уравнение:
\((3 — 2y) y — 3y = -2\).
Раскроем скобки:
\(3y — 2y^2 — 3y = -2\).
Упростим:
\(-2y^2 = -2\).
Разделим обе части на \(-2\):
\(y^2 = 1\).
Корни:
\(y_1 = -1\),
\(y_2 = 1\).
Подставим в выражение для \(x\):
при \(y = -1\), \(x = 3 — 2 \cdot (-1) = 5\),
при \(y = 1\), \(x = 3 — 2 \cdot 1 = 1\).
Ответ: \((5; -1)\) и \((1; 1)\).

4)
Рассмотрим систему:
\(\begin{cases}
2x^2 — y^2 = 14 \\
2x — y = 8
\end{cases}\).
Второе уравнение позволяет выразить \(y\) через \(x\):
\(y = 2x — 8\).
Подставим это во первое уравнение:
\(2x^2 — (2x — 8)^2 = 14\).
Раскроем квадрат:
\(2x^2 — (4x^2 — 32x + 64) = 14\).
Раскроем скобки:
\(2x^2 — 4x^2 + 32x — 64 = 14\).
Перенесём 14 в левую часть:
\(2x^2 — 4x^2 + 32x — 64 — 14 = 0\).
Упростим:
\(-2x^2 + 32x — 78 = 0\).
Разделим на \(-2\):
\(x^2 — 16x + 39 = 0\).
По теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = 16\),
\(x_1 x_2 = 39\).
Корни:
\(x_1 = 3\),
\(x_2 = 13\).
Подставим в выражение для \(y\):
при \(x = 3\), \(y = 2 \cdot 3 — 8 = -2\),
при \(x = 13\), \(y = 2 \cdot 13 — 8 = 18\).
Ответ: \((3; -2)\) и \((13; 18)\).