ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 13 Номер 4 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1)
\(\begin{cases} y — 2x = 6 \\ x^2 — xy + y^2 = 12 \end{cases}\)
2)
\(\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x^2 + xy + y^2 = 8 \end{cases}\)
3)
\(\begin{cases} 2x — 3y = 13 \\ 3x^2 + xy = 6 \end{cases}\)
4)
\(\begin{cases} x — 2v = 4 \\ x^2 + 2xv + 2v^2 — 3v = 5 \end{cases}\)

1)
\(\begin{cases} y — 2x = 6 \\ x^2 — xy + y^2 = 12 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y = 2x + 6 \\ x^2 — x(2x + 6) + (2x + 6)^2 = 12 \end{cases}\)
Решим второе уравнение системы:
\(x^2 — 2x^2 — 6x + 4x^2 + 24x + 36 — 12 = 0\)
\(3x^2 + 18x + 24 = 0 \quad | : 3\)
\(x^2 + 6x + 8 = 0\).
По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -6; \quad x_1 x_2 = 8;\)
\(x_1 = -4, \quad x_2 = -2.\)
Тогда:
\(\begin{cases} x = -4 \\ y = 2 \cdot (-4) + 6 \end{cases}\),
\(\begin{cases} x = -2 \\ y = 2 \cdot (-2) + 6 \end{cases}\)
\(\Rightarrow\)
\(\begin{cases} x = -4 \\ y = -2 \end{cases}\),
\(\begin{cases} x = -2 \\ y = 2 \end{cases}\)
Ответ: \((-4; -2)\) и \((-2; 2)\).

2)
\(\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x^2 + xy + y^2 = 8 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y = 2 — x \\ 2x^2 + x(2 — x) + (2 — x)^2 = 8 \end{cases}\)
Решим второе уравнение системы:
\(2x^2 + 2x — x^2 + 4 — 4x + x^2 — 8 = 0\)
\(2x^2 — 2x — 4 = 0 \quad | : 2\)
\(x^2 — x — 2 = 0.\)
По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 1; \quad x_1 x_2 = -2;\)
\(x_1 = -1, \quad x_2 = 2.\)
Тогда:
\(\begin{cases} x = -1 \\ y = 2 — (-1) \end{cases}\),
\(\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 — 2 \end{cases}\)
Ответ: \((-1; 3)\) и \((2; 0)\).

3)
\(\begin{cases} 2x — 3y = 13 \\ 3x^2 + xy = 6 \end{cases}\)
\(y = \frac{2x — 13}{3}\)
\(3x^2 + x \cdot \frac{2x — 13}{3} = 6\)
Решим второе уравнение системы:
\(3x^2 + \frac{2x^2 — 13x}{3} — 6 = 0 \quad | \cdot 3\)
\(9x^2 + 2x^2 — 13x — 18 = 0\)
\(11x^2 — 13x — 18 = 0\)
\(D = 169 + 4 \cdot 11 \cdot 18 = 169 + 792 = 961.\)
\(x_1 = \frac{13 — \sqrt{961}}{2 \cdot 11} = \frac{13 — 31}{22} = \frac{-18}{22} = -\frac{9}{11};\)
\(x_2 = \frac{13 + \sqrt{961}}{2 \cdot 11} = \frac{13 + 31}{22} = \frac{44}{22} = 2.\)
Подставим \(x_1\) и \(x_2\) в уравнение \(y = \frac{2x — 13}{3}\):
\(y_1 = \frac{2 \cdot (-\frac{9}{11}) — 13}{3} = \frac{-\frac{18}{11} — \frac{143}{11}}{3} = \frac{-\frac{161}{11}}{3} = -\frac{161}{33} = -4 \frac{29}{33};\)
\(y_2 = \frac{2 \cdot 2 — 13}{3} = \frac{4 — 13}{3} = \frac{-9}{3} = -3.\)
Ответ: \(\left(-\frac{9}{11}; -4 \frac{29}{33}\right)\) и \((2; -3)\).

4)
\(\begin{cases} x — 2y = 4 \\ x^2 + 2xy + 2y^2 — 3y = 5 \end{cases}\)
\(x = 2y + 4\)
\((2y + 4)^2 + 2y(2y + 4) + 2y^2 — 3y = 5\)
Решим второе уравнение системы:
\(4y^2 + 16y + 16 + 4y^2 + 8y + 2y^2 — 3y — 5 = 0\)
\(10y^2 + 21y + 11 = 0\)
\(D = 441 — 4 \cdot 10 \cdot 11 = 441 — 440 = 1.\)
\(y_1 = \frac{-21 — \sqrt{1}}{2 \cdot 10} = \frac{-21 — 1}{20} = \frac{-22}{20} = -\frac{11}{10} = -1,1;\)
\(y_2 = \frac{-21 + \sqrt{1}}{2 \cdot 10} = \frac{-21 + 1}{20} = \frac{-20}{20} = -1.\)
Подставим \(y_1\) и \(y_2\) в уравнение \(x = 2y + 4\):
\(x_1 = 2 \cdot (-1,1) + 4 = -2,2 + 4 = 1,8;\)
\(x_2 = 2 \cdot (-1) + 4 = -2 + 4 = 2.\)
Ответ: \((1,8; -1,1)\) и \((2; -1)\).

1)
\(\begin{cases} y — 2x = 6 \\ x^2 — xy + y^2 = 12 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y = 2x + 6 \\ x^2 — x(2x + 6) + (2x + 6)^2 = 12 \end{cases}\)
Решим второе уравнение системы:
\(x^2 — 2x^2 — 6x + 4x^2 + 24x + 36 — 12 = 0\)
\(3x^2 + 18x + 24 = 0 \quad | : 3\)
\(x^2 + 6x + 8 = 0\).
По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -6; \quad x_1 x_2 = 8;\)
\(x_1 = -4, \quad x_2 = -2.\)
Тогда:
\(\begin{cases} x = -4 \\ y = 2 \cdot (-4) + 6 \end{cases}\),
\(\begin{cases} x = -2 \\ y = 2 \cdot (-2) + 6 \end{cases}\)
\(\Rightarrow\)
\(\begin{cases} x = -4 \\ y = -2 \end{cases}\),
\(\begin{cases} x = -2 \\ y = 2 \end{cases}\)
Ответ: \((-4; -2)\) и \((-2; 2)\).

2)
\(\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x^2 + xy + y^2 = 8 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y = 2 — x \\ 2x^2 + x(2 — x) + (2 — x)^2 = 8 \end{cases}\)
Решим второе уравнение системы:
\(2x^2 + 2x — x^2 + 4 — 4x + x^2 — 8 = 0\)
\(2x^2 — 2x — 4 = 0 \quad | : 2\)
\(x^2 — x — 2 = 0.\)
По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 1; \quad x_1 x_2 = -2;\)
\(x_1 = -1, \quad x_2 = 2.\)
Тогда:
\(\begin{cases} x = -1 \\ y = 2 — (-1) \end{cases}\),
\(\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 — 2 \end{cases}\)
Ответ: \((-1; 3)\) и \((2; 0)\).

3)
\(\begin{cases} 2x — 3y = 13 \\ 3x^2 + xy = 6 \end{cases}\)
\(y = \frac{2x — 13}{3}\)
\(3x^2 + x \cdot \frac{2x — 13}{3} = 6\)
Решим второе уравнение системы:
\(3x^2 + \frac{2x^2 — 13x}{3} — 6 = 0 \quad | \cdot 3\)
\(9x^2 + 2x^2 — 13x — 18 = 0\)
\(11x^2 — 13x — 18 = 0\)
\(D = 169 + 4 \cdot 11 \cdot 18 = 169 + 792 = 961.\)
\(x_1 = \frac{13 — \sqrt{961}}{2 \cdot 11} = \frac{13 — 31}{22} = \frac{-18}{22} = -\frac{9}{11};\)
\(x_2 = \frac{13 + \sqrt{961}}{2 \cdot 11} = \frac{13 + 31}{22} = \frac{44}{22} = 2.\)
Подставим \(x_1\) и \(x_2\) в уравнение \(y = \frac{2x — 13}{3}\):
\(y_1 = \frac{2 \cdot (-\frac{9}{11}) — 13}{3} = \frac{-\frac{18}{11} — \frac{143}{11}}{3} = \frac{-\frac{161}{11}}{3} = -\frac{161}{33} = -4 \frac{29}{33};\)
\(y_2 = \frac{2 \cdot 2 — 13}{3} = \frac{4 — 13}{3} = \frac{-9}{3} = -3.\)
Ответ: \(\left(-\frac{9}{11}; -4 \frac{29}{33}\right)\) и \((2; -3)\).

4)
\(\begin{cases} x — 2y = 4 \\ x^2 + 2xy + 2y^2 — 3y = 5 \end{cases}\)
\(x = 2y + 4\)
\((2y + 4)^2 + 2y(2y + 4) + 2y^2 — 3y = 5\)
Решим второе уравнение системы:
\(4y^2 + 16y + 16 + 4y^2 + 8y + 2y^2 — 3y — 5 = 0\)
\(10y^2 + 21y + 11 = 0\)
\(D = 441 — 4 \cdot 10 \cdot 11 = 441 — 440 = 1.\)
\(y_1 = \frac{-21 — \sqrt{1}}{2 \cdot 10} = \frac{-21 — 1}{20} = \frac{-22}{20} = -\frac{11}{10} = -1,1;\)
\(y_2 = \frac{-21 + \sqrt{1}}{2 \cdot 10} = \frac{-21 + 1}{20} = \frac{-20}{20} = -1.\)
Подставим \(y_1\) и \(y_2\) в уравнение \(x = 2y + 4\):
\(x_1 = 2 \cdot (-1,1) + 4 = -2,2 + 4 = 1,8;\)
\(x_2 = 2 \cdot (-1) + 4 = -2 + 4 = 2.\)
Ответ: \((1,8; -1,1)\) и \((2; -1)\).

1)
Рассмотрим систему уравнений:
\(\begin{cases} y — 2x = 6 \\ x^2 — xy + y^2 = 12 \end{cases}\).
Первое уравнение можно преобразовать, выразив \(y\) через \(x\):
\(y = 2x + 6\). Подставим это выражение во второе уравнение:
\(x^2 — x(2x + 6) + (2x + 6)^2 = 12\).
Раскроем скобки и упростим:
\(x^2 — 2x^2 — 6x + 4x^2 + 24x + 36 = 12\).
Соберём подобные члены:
\(x^2 — 2x^2 + 4x^2 = 3x^2\),
\(-6x + 24x = 18x\),
постоянные: \(36 — 12 = 24\).
Получаем квадратное уравнение:
\(3x^2 + 18x + 24 = 0\).
Разделим на 3 для упрощения:
\(x^2 + 6x + 8 = 0\).
По теореме Виета сумма корней равна \(-6\), произведение \(8\).
Корни найдём из разложения:
\((x + 4)(x + 2) = 0\), значит \(x_1 = -4\), \(x_2 = -2\).
Теперь найдём соответствующие значения \(y\):
для \(x = -4\) имеем \(y = 2 \cdot (-4) + 6 = -8 + 6 = -2\),
для \(x = -2\) имеем \(y = 2 \cdot (-2) + 6 = -4 + 6 = 2\).
Таким образом, решения системы: \((-4; -2)\) и \((-2; 2)\).

2)
Дана система:
\(\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x^2 + xy + y^2 = 8 \end{cases}\).
Выразим \(y\) через \(x\) из первого уравнения:
\(y = 2 — x\). Подставим во второе уравнение:
\(2x^2 + x(2 — x) + (2 — x)^2 = 8\).
Раскроем скобки:
\(2x^2 + 2x — x^2 + 4 — 4x + x^2 = 8\).
Упростим:
\(2x^2 — x^2 + x^2 = 2x^2\),
\(2x — 4x = -2x\),
постоянные: \(4\).
Получаем уравнение:
\(2x^2 — 2x + 4 = 8\).
Перенесём всё в левую часть:
\(2x^2 — 2x + 4 — 8 = 0\),
\(2x^2 — 2x — 4 = 0\).
Разделим на 2:
\(x^2 — x — 2 = 0\).
По теореме Виета сумма корней равна 1, произведение \(-2\).
Корни:
\((x — 2)(x + 1) = 0\), значит \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\).
Найдём соответствующие \(y\):
для \(x = -1\), \(y = 2 — (-1) = 3\),
для \(x = 2\), \(y = 2 — 2 = 0\).
Решения: \((-1; 3)\) и \((