ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 13 Номер 5 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:

1) прямой \( y = x + 2 \) и окружности \((x + 3)^2 + y^2 = 5 \);

2) окружности \( x^2 + y^2 = 9 \) и параболы \( y = 3 — x^2 \).

1) Координаты точек пересечения указанных фигур – это решения системы уравнений:
\(\begin{cases} y = x + 2 \\ (x + 3)^2 + y^2 = 5 \end{cases}\)
Решим второе уравнение системы:
\(x^2 + 6x + 9 + y^2 = 5\)
Подставим \(y = x + 2\):
\(x^2 + 6x + 9 + (x + 2)^2 = 5\)
Раскроем скобки:
\(x^2 + 6x + 9 + x^2 + 4x + 4 = 5\)
Сложим подобные:
\(2x^2 + 10x + 13 = 5\)
Перенесём 5 влево:
\(2x^2 + 10x + 8 = 0\)
Разделим на 2:
\(x^2 + 5x + 4 = 0\)
По теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = -5\), \(x_1 x_2 = 4\)
Корни: \(x_1 = -4\), \(x_2 = -1\)
Подставим в \(y = x + 2\):
\(y_1 = -4 + 2 = -2\)
\(y_2 = -1 + 2 = 1\)
Ответ: \((-4; -2)\) и \((-1; 1)\).

2) Координаты точек пересечения указанных фигур – это решения системы уравнений:
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ y = 3 — x^2 \end{cases}\)
Подставим \(y = 3 — x^2\) во второе уравнение:
\(x^2 + (3 — x^2)^2 = 9\)
Раскроем скобки:
\(x^2 + 9 — 6x^2 + x^4 = 9\)
Перенесём 9 влево:
\(x^4 — 5x^2 + x^2 + 9 — 9 = 0\)
Упростим:
\(x^4 — 5x^2 = 0\)
Вынесем \(x^2\) за скобки:
\(x^2(x^2 — 5) = 0\)
Отсюда:
\(x^2 = 0\) или \(x^2 = 5\)
Значит:
\(x_1 = 0\), \(x_2 = -\sqrt{5}\), \(x_3 = \sqrt{5}\)
Подставим в \(y = 3 — x^2\):
\(y_1 = 3 — 0^2 = 3\)
\(y_2 = 3 — (-\sqrt{5})^2 = 3 — 5 = -2\)
\(y_3 = 3 — (\sqrt{5})^2 = 3 — 5 = -2\)
Ответ: \((0; 3)\), \((- \sqrt{5}; -2)\) и \((\sqrt{5}; -2)\).

1) Координаты точек пересечения указанных фигур – это решения системы уравнений:
\(\begin{cases} y = x + 2 \\ (x + 3)^2 + y^2 = 5 \end{cases}\)
Решим второе уравнение системы:
\(x^2 + 6x + 9 + y^2 = 5\)
Подставим \(y = x + 2\):
\(x^2 + 6x + 9 + (x + 2)^2 = 5\)
Раскроем скобки:
\(x^2 + 6x + 9 + x^2 + 4x + 4 = 5\)
Сложим подобные:
\(2x^2 + 10x + 13 = 5\)
Перенесём 5 влево:
\(2x^2 + 10x + 8 = 0\)
Разделим на 2:
\(x^2 + 5x + 4 = 0\)
По теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = -5\), \(x_1 x_2 = 4\)
Корни: \(x_1 = -4\), \(x_2 = -1\)
Подставим в \(y = x + 2\):
\(y_1 = -4 + 2 = -2\)
\(y_2 = -1 + 2 = 1\)
Ответ: \((-4; -2)\) и \((-1; 1)\).

2) Координаты точек пересечения указанных фигур – это решения системы уравнений:
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ y = 3 — x^2 \end{cases}\)
Подставим \(y = 3 — x^2\) во второе уравнение:
\(x^2 + (3 — x^2)^2 = 9\)
Раскроем скобки:
\(x^2 + 9 — 6x^2 + x^4 = 9\)
Перенесём 9 влево:
\(x^4 — 5x^2 + x^2 + 9 — 9 = 0\)
Упростим:
\(x^4 — 5x^2 = 0\)
Вынесем \(x^2\) за скобки:
\(x^2(x^2 — 5) = 0\)
Отсюда:
\(x^2 = 0\) или \(x^2 = 5\)
Значит:
\(x_1 = 0\), \(x_2 = -\sqrt{5}\), \(x_3 = \sqrt{5}\)
Подставим в \(y = 3 — x^2\):
\(y_1 = 3 — 0^2 = 3\)
\(y_2 = 3 — (-\sqrt{5})^2 = 3 — 5 = -2\)
\(y_3 = 3 — (\sqrt{5})^2 = 3 — 5 = -2\)
Ответ: \((0; 3)\), \((- \sqrt{5}; -2)\) и \((\sqrt{5}; -2)\).

Рассмотрим первую систему уравнений, которая задаёт координаты точек пересечения двух фигур:
\(\begin{cases} y = x + 2 \\ (x + 3)^2 + y^2 = 5 \end{cases}\).

Первое уравнение выражает зависимость \(y\) от \(x\) линейной функцией, а второе уравнение задаёт окружность с центром в точке \((-3; 0)\) и радиусом \(\sqrt{5}\). Чтобы найти точки пересечения, нужно подставить выражение \(y = x + 2\) из первого уравнения во второе и решить полученное уравнение относительно \(x\). При подстановке получаем:
\((x + 3)^2 + (x + 2)^2 = 5\).

Раскроем скобки:
\((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\),
\((x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4\).
Сложив эти выражения, получаем:
\(x^2 + 6x + 9 + x^2 + 4x + 4 = 5\).
Объединим подобные слагаемые:
\(2x^2 + 10x + 13 = 5\).
Переносим 5 в левую часть уравнения:
\(2x^2 + 10x + 8 = 0\).
Разделим всё уравнение на 2 для удобства:
\(x^2 + 5x + 4 = 0\).

Это квадратное уравнение можно решить с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна \(-5\), а произведение корней равно \(4\). Таким образом, корни уравнения:
\(x_1 = -4\), \(x_2 = -1\).
Подставим найденные значения \(x_1\) и \(x_2\) в уравнение \(y = x + 2\), чтобы найти соответствующие значения \(y\):
\(y_1 = -4 + 2 = -2\),
\(y_2 = -1 + 2 = 1\).
Итоговые точки пересечения: \((-4; -2)\) и \((-1; 1)\).

Переходим ко второй системе уравнений, которая задаёт пересечение окружности и параболы:
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ y = 3 — x^2 \end{cases}\).

Первое уравнение описывает окружность с центром в начале координат и радиусом 3. Второе уравнение задаёт параболу, направленную вниз, с вершиной в точке \((0; 3)\). Чтобы найти точки пересечения, подставим выражение \(y = 3 — x^2\) из второго уравнения в первое:
\(x^2 + (3 — x^2)^2 = 9\).

Раскроем квадрат:
\((3 — x^2)^2 = 9 — 6x^2 + x^4\).
Подставим в уравнение:
\(x^2 + 9 — 6x^2 + x^4 = 9\).
Перенесём 9 в левую часть:
\(x^2 + 9 — 6x^2 + x^4 — 9 = 0\).
Упростим:
\(x^4 — 5x^2 = 0\).
Вынесем общий множитель \(x^2\):
\(x^2(x^2 — 5) = 0\).
Отсюда два варианта:
\(x^2 = 0\) или \(x^2 = 5\), то есть
\(x_1 = 0\), \(x_2 = -\sqrt{5}\), \(x_3 = \sqrt{5}\).

Подставим эти значения обратно в уравнение параболы \(y = 3 — x^2\), чтобы найти соответствующие \(y\):
Для \(x_1 = 0\):
\(y_1 = 3 — 0^2 = 3\).
Для \(x_2 = -\sqrt{5}\):
\(y_2 = 3 — (-\sqrt{5})^2 = 3 — 5 = -2\).
Для \(x_3 = \sqrt{5}\):
\(y_3 = 3 — (\sqrt{5})^2 = 3 — 5 = -2\).

Таким образом, точки пересечения:
\((0; 3)\), \((- \sqrt{5}; -2)\), \((\sqrt{5}; -2)\).