Рабочая тетрадь по алгебре для 9 класса под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полонского — это практическое учебное пособие, полностью соответствующее Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС). Она разработана для систематизации и закрепления знаний, полученных на уроках алгебры, и помогает школьникам глубже понять основные математические понятия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 13 Номер 6 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы
Решите систему уравнений:
1)
\(\begin{cases}
(x + y)^2 — 4(x + y) = 12 \\
x^2 — xy = 12
\end{cases}\)
2)
\(\begin{cases}
\frac{x}{y} — xy = 6 \\
\frac{2x}{y} + 3xy = 22
\end{cases}\)
3)
\(\begin{cases}
\frac{1}{x} — \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \\
\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1.5
\end{cases}\)
4)
\(\begin{cases}
\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{26}{5} \\
x^2 — y^2 = 24
\end{cases}\)
5)
\(\begin{cases}
\frac{x + 3y}{x — y} — \frac{x — y}{x + 3y} = \frac{24}{5} \\
5x + 8y = 18
\end{cases}\)
Рассмотрим систему уравнений:
\(\begin{cases}
\frac{x + 3y}{x — y} — \frac{x — y}{x + 3y} = \frac{24}{5} \\
5x + 8y = 18
\end{cases}\)
Первое уравнение содержит дроби с выражениями в числителе и знаменателе, что усложняет прямое решение. Чтобы упростить задачу, введём новую переменную \(a\), определив её как отношение \(\frac{x + 3y}{x — y}\). Тогда обратное отношение будет \(\frac{x — y}{x + 3y} = \frac{1}{a}\), поскольку знаменатель и числитель меняются местами.
Подставляя эти обозначения в первое уравнение, получаем уравнение с одной переменной:
\(a — \frac{1}{a} = \frac{24}{5}\).
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на \(a\), получим квадратное уравнение:
\(a^2 — \frac{24}{5} a — 1 = 0\).
Домножим всё уравнение на 5, чтобы избавиться от знаменателей:
\(5a^2 — 24a — 5 = 0\).
Для решения этого уравнения вычислим дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a=5\), \(b=-24\), \(c=-5\):
\(D = (-24)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 576 + 100 = 676\).
Корень дискриминанта:
\(\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26\).
Корни уравнения находятся по формуле:
\(a_{1,2} = \frac{24 \pm 26}{2 \cdot 5} = \frac{24 \pm 26}{10}\).
Первый корень:
\(a_1 = \frac{24 — 26}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}\).
Второй корень:
\(a_2 = \frac{24 + 26}{10} = \frac{50}{10} = 5\).
Таким образом, у нас есть два возможных значения для отношения \(\frac{x+3y}{x-y}\): \(-\frac{1}{5}\) и \(5\).
Рассмотрим каждый случай отдельно.
Если \(\frac{x + 3y}{x — y} = 5\), то умножим обе части на знаменатель:
\(x + 3y = 5(x — y)\).
Раскроем скобки справа:
\(x + 3y = 5x — 5y\).
Перенесём все слагаемые в одну сторону:
\(x + 3y — 5x + 5y = 0\),
\(-4x + 8y = 0\).
Разделим на 4:
\(-x + 2y = 0\),
откуда выражаем \(x\):
\(x = 2y\).
Теперь подставим выражение \(x = 2y\) во второе уравнение системы:
\(5x + 8y = 18\),
заменим \(x\):
\(5 \cdot 2y + 8y = 18\),
\(10y + 8y = 18\),
\(18y = 18\),
откуда
\(y = 1\).
Подставим найденное \(y\) обратно, чтобы найти \(x\):
\(x = 2 \cdot 1 = 2\).
Получаем решение \((x, y) = (2; 1)\).
Теперь рассмотрим случай, когда \(\frac{x + 3y}{x — y} = -\frac{1}{5}\).
Умножим обе части на знаменатель:
\(x + 3y = -\frac{1}{5} (x — y)\).
Домножим обе части на 5 для удобства:
\(5(x + 3y) = -(x — y)\),
раскроем скобки:
\(5x + 15y = -x + y\).
Перенесём все слагаемые в одну сторону:
\(5x + 15y + x — y = 0\),
\(6x + 14y = 0\).
Разделим на 2:
\(3x + 7y = 0\),
откуда выразим \(x\):
\(x = -\frac{7}{3} y\).
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
\(5x + 8y = 18\),
заменим \(x\):
\(5 \cdot \left(-\frac{7}{3} y\right) + 8y = 18\),
\(-\frac{35}{3} y + 8y = 18\).
Приведём к общему знаменателю:
\(-\frac{35}{3} y + \frac{24}{3} y = 18\),
\(-\frac{11}{3} y = 18\),
откуда
\(y = -\frac{54}{11}\).
Подставим \(y\) в выражение для \(x\):
\(x = -\frac{7}{3} \cdot \left(-\frac{54}{11}\right) = \frac{7 \cdot 54}{3 \cdot 11} = \frac{378}{33} = \frac{126}{11}\).
Таким образом, второе решение системы:
\(\left(\frac{126}{11}; -\frac{54}{11}\right)\).
Итоговые решения системы:
\(\left(\frac{126}{11}; -\frac{54}{11}\right)\) и \((2; 1)\).
Рассмотрим систему уравнений:
\(\begin{cases}
\frac{x + 3y}{x — y} — \frac{x — y}{x + 3y} = \frac{24}{5} \\
5x + 8y = 18
\end{cases}\)
Первое уравнение содержит дроби с выражениями в числителе и знаменателе, что усложняет прямое решение. Чтобы упростить задачу, введём новую переменную \(a\), определив её как отношение \(\frac{x + 3y}{x — y}\). Тогда обратное отношение будет \(\frac{x — y}{x + 3y} = \frac{1}{a}\), поскольку знаменатель и числитель меняются местами.
Подставляя эти обозначения в первое уравнение, получаем уравнение с одной переменной:
\(a — \frac{1}{a} = \frac{24}{5}\).
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на \(a\), получим квадратное уравнение:
\(a^2 — \frac{24}{5} a — 1 = 0\).
Домножим всё уравнение на 5, чтобы избавиться от знаменателей:
\(5a^2 — 24a — 5 = 0\).
Для решения этого уравнения вычислим дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a=5\), \(b=-24\), \(c=-5\):
\(D = (-24)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 576 + 100 = 676\).
Корень дискриминанта:
\(\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26\).
Корни уравнения находятся по формуле:
\(a_{1,2} = \frac{24 \pm 26}{2 \cdot 5} = \frac{24 \pm 26}{10}\).
Первый корень:
\(a_1 = \frac{24 — 26}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}\).
Второй корень:
\(a_2 = \frac{24 + 26}{10} = \frac{50}{10} = 5\).
Таким образом, у нас есть два возможных значения для отношения \(\frac{x+3y}{x-y}\): \(-\frac{1}{5}\) и \(5\).
Рассмотрим каждый случай отдельно.
Если \(\frac{x + 3y}{x — y} = 5\), то умножим обе части на знаменатель:
\(x + 3y = 5(x — y)\).
Раскроем скобки справа:
\(x + 3y = 5x — 5y\).
Перенесём все слагаемые в одну сторону:
\(x + 3y — 5x + 5y = 0\),
\(-4x + 8y = 0\).
Разделим на 4:
\(-x + 2y = 0\),
откуда выражаем \(x\):
\(x = 2y\).
Теперь подставим выражение \(x = 2y\) во второе уравнение системы:
\(5x + 8y = 18\),
заменим \(x\):
\(5 \cdot 2y + 8y = 18\),
\(10y + 8y = 18\),
\(18y = 18\),
откуда
\(y = 1\).
Подставим найденное \(y\) обратно, чтобы найти \(x\):
\(x = 2 \cdot 1 = 2\).
Получаем решение \((x, y) = (2; 1)\).
Теперь рассмотрим случай, когда \(\frac{x + 3y}{x — y} = -\frac{1}{5}\).
Умножим обе части на знаменатель:
\(x + 3y = -\frac{1}{5} (x — y)\).
Домножим обе части на 5 для удобства:
\(5(x + 3y) = -(x — y)\),
раскроем скобки:
\(5x + 15y = -x + y\).
Перенесём все слагаемые в одну сторону:
\(5x + 15y + x — y = 0\),
\(6x + 14y = 0\).
Разделим на 2:
\(3x + 7y = 0\),
откуда выразим \(x\):
\(x = -\frac{7}{3} y\).
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
\(5x + 8y = 18\),
заменим \(x\):
\(5 \cdot \left(-\frac{7}{3} y\right) + 8y = 18\),
\(-\frac{35}{3} y + 8y = 18\).
Приведём к общему знаменателю:
\(-\frac{35}{3} y + \frac{24}{3} y = 18\),
\(-\frac{11}{3} y = 18\),
откуда
\(y = -\frac{54}{11}\).
Подставим \(y\) в выражение для \(x\):
\(x = -\frac{7}{3} \cdot \left(-\frac{54}{11}\right) = \frac{7 \cdot 54}{3 \cdot 11} = \frac{378}{33} = \frac{126}{11}\).
Таким образом, второе решение системы:
\(\left(\frac{126}{11}; -\frac{54}{11}\right)\).
Итоговые решения системы:
\(\left(\frac{126}{11}; -\frac{54}{11}\right)\) и \((2; 1)\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.