ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 13 Номер 7 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(\begin{cases} 2x — 5xy = 18 \\ y + 5xy = -16 \end{cases}\)
2) \(\begin{cases} xy + x = 1 \\ xy — 3y = 0,5 \end{cases}\)
3) \(\begin{cases} 7x^2 + 3y^2 = 31 \\ 7x^2 — 3y^2 = 25 \end{cases}\)

1)
\(\begin{cases} 2x — 5xy = 18 \\ y + 5xy = -16 \end{cases}\)
Сложив почленно левые и правые части уравнений, получаем:
\(2x + y = 2\).
Выразив из полученного уравнения переменную \(y\) через переменную \(x\), подставим полученное выражение вместо \(y\) в первое уравнение данной системы:
\(y = 2 — 2x\);
\(2x — 5x(2 — 2x) = 18\)
\(2x — 10x + 10x^2 — 18 = 0\)
\(10x^2 — 8x — 18 = 0 \quad | : 2\)
\(5x^2 — 4x — 9 = 0\)
\(D = 16 + 4 \cdot 5 \cdot 9 = 196\).
\(x_1 = \frac{4 — \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{4 — 14}{10} = \frac{-10}{10} = -1\);
\(x_2 = \frac{4 + \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 14}{10} = \frac{18}{10} = 1,8\).
Тогда:
\(y_1 = 2 — 2 \cdot (-1) = 2 + 2 = 4\);
\(y_2 = 2 — 2 \cdot 1,8 = 2 — 3,6 = -1,6\).
Ответ: \((-1; 4)\) и \((1,8; -1,6)\).

2)
\(\begin{cases} xy + x = 1 \\ xy — 3y = 0,5 \end{cases}\)
Вычтем почленно левые и правые части уравнений:
\((xy + x) — (xy — 3y) = 1 — 0,5\)
\(xy + x — xy + 3y = 0,5\)
\(x + 3y = 0,5\).
Выразив из полученного уравнения переменную \(x\) через переменную \(y\), подставим полученное выражение вместо \(x\) в первое уравнение данной системы:
\(x = 0,5 — 3y\);
\((0,5 — 3y)y + (0,5 — 3y) = 1\)
\(0,5y — 3y^2 + 0,5 — 3y — 1 = 0\)
\(-3y^2 — 2,5y — 0,5 = 0 \quad | : (-0,5)\)
\(6y^2 + 5y + 1 = 0\)
\(D = 25 — 4 \cdot 6 = 1\).
\(y_1 = \frac{-5 — \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 — 1}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}\);
\(y_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 1}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}\).
Тогда:
\(x_1 = 0,5 — 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 0,5 + 1,5 = 2\);
\(x_2 = 0,5 — 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 0,5 + 1 = 1,5\).
Ответ: \((2; -\frac{1}{2})\) и \((1,5; -\frac{1}{3})\).

3)
\(\begin{cases} 7x^2 + 3y^2 = 31 \\ 7x^2 — 3y^2 = 25 \end{cases}\)
Сложив почленно левые и правые части уравнений, получаем:
\(14x^2 = 56\).
Тогда:
\(x^2 = \frac{56}{14}\)
\(x^2 = 4\)
\(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\).
Подставим \(x_1\) и \(x_2\) во второе уравнение системы:
\(7 \cdot (-2)^2 — 3y^2 = 25\)
\(7 \cdot 4 — 3y^2 = 25\)
\(28 — 3y^2 = 25\)
\(3y^2 = 28 — 25\)
\(3y^2 = 3\)
\(y^2 = 1\)
\(y_1 = -1\), \(y_2 = 1\).
Ответ: \((-2; -1)\), \((-2; 1)\), \((2; -1)\) и \((2; 1)\).

1)
\(\begin{cases} 2x — 5xy = 18 \\ y + 5xy = -16 \end{cases}\)
Сложив почленно левые и правые части уравнений, получаем:
\(2x + y = 2\).
Выразив из полученного уравнения переменную \(y\) через переменную \(x\), подставим полученное выражение вместо \(y\) в первое уравнение данной системы:
\(y = 2 — 2x\);
\(2x — 5x(2 — 2x) = 18\)
\(2x — 10x + 10x^2 — 18 = 0\)
\(10x^2 — 8x — 18 = 0 \quad | : 2\)
\(5x^2 — 4x — 9 = 0\)
\(D = 16 + 4 \cdot 5 \cdot 9 = 196\).
\(x_1 = \frac{4 — \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{4 — 14}{10} = \frac{-10}{10} = -1\);
\(x_2 = \frac{4 + \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 14}{10} = \frac{18}{10} = 1,8\).
Тогда:
\(y_1 = 2 — 2 \cdot (-1) = 2 + 2 = 4\);
\(y_2 = 2 — 2 \cdot 1,8 = 2 — 3,6 = -1,6\).
Ответ: \((-1; 4)\) и \((1,8; -1,6)\).

2)
\(\begin{cases} xy + x = 1 \\ xy — 3y = 0,5 \end{cases}\)
Вычтем почленно левые и правые части уравнений:
\((xy + x) — (xy — 3y) = 1 — 0,5\)
\(xy + x — xy + 3y = 0,5\)
\(x + 3y = 0,5\).
Выразив из полученного уравнения переменную \(x\) через переменную \(y\), подставим полученное выражение вместо \(x\) в первое уравнение данной системы:
\(x = 0,5 — 3y\);
\((0,5 — 3y)y + (0,5 — 3y) = 1\)
\(0,5y — 3y^2 + 0,5 — 3y — 1 = 0\)
\(-3y^2 — 2,5y — 0,5 = 0 \quad | : (-0,5)\)
\(6y^2 + 5y + 1 = 0\)
\(D = 25 — 4 \cdot 6 = 1\).
\(y_1 = \frac{-5 — \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 — 1}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}\);
\(y_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 1}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}\).
Тогда:
\(x_1 = 0,5 — 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 0,5 + 1,5 = 2\);
\(x_2 = 0,5 — 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 0,5 + 1 = 1,5\).
Ответ: \((2; -\frac{1}{2})\) и \((1,5; -\frac{1}{3})\).

3)
\(\begin{cases} 7x^2 + 3y^2 = 31 \\ 7x^2 — 3y^2 = 25 \end{cases}\)
Сложив почленно левые и правые части уравнений, получаем:
\(14x^2 = 56\).
Тогда:
\(x^2 = \frac{56}{14}\)
\(x^2 = 4\)
\(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\).
Подставим \(x_1\) и \(x_2\) во второе уравнение системы:
\(7 \cdot (-2)^2 — 3y^2 = 25\)
\(7 \cdot 4 — 3y^2 = 25\)
\(28 — 3y^2 = 25\)
\(3y^2 = 28 — 25\)
\(3y^2 = 3\)
\(y^2 = 1\)
\(y_1 = -1\), \(y_2 = 1\).
Ответ: \((-2; -1)\), \((-2; 1)\), \((2; -1)\) и \((2; 1)\).

1)
Рассмотрим систему уравнений:
\(\begin{cases} 2x — 5xy = 18 \\ y + 5xy = -16 \end{cases}\).
Первым шагом сложим почленно левые части уравнений и правые части соответственно, чтобы упростить систему. При сложении получаем:
\(2x — 5xy + y + 5xy = 18 + (-16)\),
что упрощается до
\(2x + y = 2\),
поскольку слагаемые \(-5xy\) и \(+5xy\) взаимно уничтожаются. Это новое уравнение позволяет выразить одну переменную через другую, что значительно упростит решение.

Выразим \(y\) через \(x\) из уравнения \(2x + y = 2\), получаем:
\(y = 2 — 2x\).
Теперь подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение системы \(2x — 5xy = 18\), заменяя \(y\) на \(2 — 2x\):
\(2x — 5x(2 — 2x) = 18\).
Раскрываем скобки:
\(2x — 10x + 10x^2 = 18\),
что упрощается до
\(10x^2 — 8x = 18\).
Переносим все члены в левую часть уравнения:
\(10x^2 — 8x — 18 = 0\).
Для удобства делим все уравнение на 2:
\(5x^2 — 4x — 9 = 0\),
чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида.

Рассчитаем дискриминант \(D\) для этого уравнения:
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-9) = 16 + 180 = 196\).
Корни квадратного уравнения находятся по формуле:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\),
где \(a=5\), \(b=-4\).
Подставим значения:
\(x_1 = \frac{4 — 14}{10} = -1\),
\(x_2 = \frac{4 + 14}{10} = 1,8\).
Теперь найдём соответствующие значения \(y\), используя формулу \(y = 2 — 2x\):
для \(x_1 = -1\),
\(y_1 = 2 — 2 \cdot (-1) = 4\),
для \(x_2 = 1,8\),
\(y_2 = 2 — 2 \cdot 1,8 = -1,6\).
Таким образом, решения системы: \((-1; 4)\) и \((1,8; -1,6)\).

2)
Рассмотрим систему уравнений:
\(\begin{cases} xy + x = 1 \\ xy — 3y = 0,5 \end{cases}\).
Вычислим разность левых и правых частей уравнений:
\((xy + x) — (xy — 3y) = 1 — 0,5\).
Раскроем скобки и упростим:
\(xy + x — xy + 3y = 0,5\),
что сокращается до
\(x + 3y = 0,5\).
Это уравнение позволяет выразить одну переменную через другую, что значительно упрощает решение системы.

Выразим \(x\) через \(y\):
\(x = 0,5 — 3y\).
Подставим это выражение в первое уравнение системы \(xy + x = 1\), заменяя \(x\):
\((0,5 — 3y) y + (0,5 — 3y) = 1\).
Раскроем скобки:
\(0,5 y — 3 y^2 + 0,5 — 3 y = 1\).
Перенесём все члены в левую часть:
\(-3 y^2 — 2,5 y — 0,5 = 0\).
Для удобства умножим уравнение на \(-2\), чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:
\(6 y^2 + 5 y + 1 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = 5^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 — 24 = 1\).
Найдём корни:
\(y_1 = \frac{-5 — 1}{2 \cdot 6} = -\frac{1}{2}\),
\(y_2 = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 6} = -\frac{1}{3}\).
Подставим значения \(y\) обратно в выражение для \(x\):
для \(y_1 = -\frac{1}{2}\),
\(x_1 = 0,5 — 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2\),
для \(y_2 = -\frac{1}{3}\),
\(x_2 = 0,5 — 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 1,5\).
Ответ: \((2; -\frac{1}{2})\) и \((1,5; -\frac{1}{3})\).

3)
Рассмотрим систему уравнений:
\(\begin{cases} 7x^2 + 3y^2 = 31 \\ 7x^2 — 3y^2 = 25 \end{cases}\).
Сложим почленно левые и правые части уравнений:
\(7x^2 + 3y^2 + 7x^2 — 3y^2 = 31 + 25\).
Сокращая, получаем:
\(14x^2 = 56\).
Отсюда:
\(x^2 = \frac{56}{14} = 4\),
что даёт два значения:
\(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\).
Подставим эти значения в одно из исходных уравнений, например, во второе:
для \(x_1 = -2\),
\(7 \cdot (-2)^2 — 3 y^2 = 25\),
\(7 \cdot 4 — 3 y^2 = 25\),
\(28 — 3 y^2 = 25\),
\(3 y^2 = 3\),
\(y^2 = 1\),
откуда \(y_1 = -1\), \(y_2 = 1\).
Аналогично для \(x_2 = 2\) получаем те же значения \(y\).
Ответ: \((-2; -1)\), \((-2; 1)\), \((2; -1)\), \((2; 1)\).