ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 13 Номер 8 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(\begin{cases} 2x — 5xy = 18 \\ y + 5xy = -16 \end{cases}\)
2) \(\begin{cases} xy + x = 1 \\ xy — 3y = 0,5 \end{cases}\)
3) \(\begin{cases} 7x^2 + 3y^2 = 31 \\ 7x^2 — 3y^2 = 25 \end{cases}\)

1) Система сводится к уравнениям \((x + 7y)^2 = 576\) и \(x — 7y = -4\). Решая две системы:
\(\begin{cases} x + 7y = 24 \\ x — 7y = -4 \end{cases}\) и \(\begin{cases} x + 7y = -24 \\ x — 7y = -4 \end{cases}\), получаем решения \((10; 2)\) и \(\left(-14; -\frac{10}{7}\right)\).

2) Преобразуем систему к \((x — 2y)^2 = 121\) и \(y^2 — xy = 28\). Решая две системы:
\(\begin{cases} x — 2y = -11 \\ y^2 — xy = 28 \end{cases}\) и \(\begin{cases} x — 2y = 11 \\ y^2 — xy = 28 \end{cases}\), находим корни по уравнениям второго типа и получаем ответы \((-3; 4), (3; 7), (-3; -7), (3; -4)\).

3) Из системы \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 17 \\ xy = -4 \end{cases}\) получаем \((x + y)^2 = 9\), значит \(x + y = -3\) или \(x + y = 3\). Решая две системы с этими условиями, находим корни: \((-4; 1), (1; -4), (-1; 4), (4; -1)\).

4) Система \(\begin{cases} 64x^2 + y^2 = 281 \\ xy = 10 \end{cases}\) преобразуется к \((8x + y)^2 = 441\), значит \(8x + y = -21\) или \(8x + y = 21\). Решая две системы, получаем корни:
\((-2; -5), \left(-\frac{5}{8}; -16\right), \left(\frac{5}{8}; 16\right), (2; 5)\).

1)
\(\begin{cases} x^2 + 14xy + 49y^2 = 576 \\ x — 7y = -4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} (x + 7y)^2 = 576 \\ x — 7y = -4 \end{cases}\)
Следовательно, для решения исходной системы достаточно решить две более простые системы:

1)
\(\begin{cases} x + 7y = 24 \\ x — 7y = -4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x = 20 \\ x — 7y = -4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 10 \\ 7y = x + 4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 10 \\ 7y = 14 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 10 \\ y = 2 \end{cases}\)

2)
\(\begin{cases} x + 7y = -24 \\ x — 7y = -4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x = -28 \\ x — 7y = -4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = -14 \\ 7y = x + 4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = -14 \\ 7y = -10 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = -14 \\ y = -\frac{10}{7} \end{cases}\)

Ответ: \((10; 2)\) и \(\left(-14; -\frac{10}{7}\right)\).

2)
\(\begin{cases} x^2 — 4xy + 4y^2 = 121 \\ y^2 — xy = 28 \end{cases}\)
\(\begin{cases} (x — 2y)^2 = 121 \\ y^2 — xy = 28 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x — 2y = -11 \\ y^2 — xy = 28 \end{cases}\) или
\(\begin{cases} x — 2y = 11 \\ y^2 — xy = 28 \end{cases}\)

1)
\(\begin{cases} x — 2y = -11 \\ y^2 — y(2y — 11) = 28 \end{cases}\)
Решим второе уравнение:
\(y^2 — 2y^2 + 11y — 28 = 0\)
\(-y^2 + 11y — 28 = 0\)
\(y^2 — 11y + 28 = 0\)
По теореме Виета: \(y_1 = 4, y_2 = 7\).
Тогда:
\(x_1 = 2 \cdot 4 — 11 = -3\)
\(x_2 = 2 \cdot 7 — 11 = 3\)

2)
\(\begin{cases} x — 2y = 11 \\ y^2 — y(2y + 11) = 28 \end{cases}\)
Решим второе уравнение:
\(y^2 — 2y^2 — 11y — 28 = 0\)
\(-y^2 — 11y — 28 = 0\)
\(y^2 + 11y + 28 = 0\)
По теореме Виета: \(y_1 = -7, y_2 = -4\).
Тогда:
\(x_1 = 2 \cdot (-7) + 11 = -3\)
\(x_2 = 2 \cdot (-4) + 11 = 3\)

Ответ: \((-3; 4), (3; 7), (-3; -7)\) и \((3; -4)\).

3)
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 17 \\ xy = -4 \end{cases}\)
Умножим второе уравнение на 2:
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 17 \\ 2xy = -8 \end{cases}\)
Сложим почленно:
\(x^2 + y^2 + 2xy = 9\)
\((x + y)^2 = 9\)
\(x + y = -3\) или \(x + y = 3\)

1)
\(\begin{cases} x + y = -3 \\ xy = -4 \end{cases}\)
\(y = -3 — x\)
\(x(-3 — x) = -4\)
\(-3x — x^2 = -4\)
\(x^2 + 3x — 4 = 0\)
По теореме Виета: \(x_1 = 1, x_2 = -4\)
Тогда:
\(y_1 = -3 — 1 = -4\)
\(y_2 = -3 — (-4) = 1\)

2)
\(\begin{cases} x + y = 3 \\ xy = -4 \end{cases}\)
\(y = 3 — x\)
\(x(3 — x) = -4\)
\(3x — x^2 = -4\)
\(x^2 — 3x — 4 = 0\)
По теореме Виета: \(x_1 = 4, x_2 = -1\)
Тогда:
\(y_1 = 3 — 4 = -1\)
\(y_2 = 3 — (-1) = 4\)

Ответ: \((-4; 1), (1; -4), (-1; 4)\) и \((4; -1)\).

4)
\(\begin{cases} 64x^2 + y^2 = 281 \\ xy = 10 \end{cases}\)
Умножим второе уравнение на 16:
\(\begin{cases} 64x^2 + y^2 = 281 \\ 16xy = 160 \end{cases}\)
Сложим почленно:
\(64x^2 + y^2 + 16xy = 441\)
\((8x + y)^2 = 441\)
\(8x + y = -21\) или \(8x + y = 21\)

1)
\(\begin{cases} 8x + y = -21 \\ xy = 10 \end{cases}\)
\(y = -21 — 8x\)
\(x(-21 — 8x) = 10\)
\(-21x — 8x^2 = 10\)
\(8x^2 + 21x + 10 = 0\)
\(D = 441 — 4 \cdot 8 \cdot 10 = 121\)
\(x_1 = \frac{-21 — 11}{2 \cdot 8} = -2\)
\(x_2 = \frac{-21 + 11}{2 \cdot 8} = -\frac{5}{8}\)
Тогда:
\(y_1 = -21 — 8 \cdot (-2) = -5\)
\(y_2 = -21 — 8 \cdot \left(-\frac{5}{8}\right) = -16\)

2)
\(\begin{cases} 8x + y = 21 \\ xy = 10 \end{cases}\)
\(y = 21 — 8x\)
\(x(21 — 8x) = 10\)
\(21x — 8x^2 = 10\)
\(8x^2 — 21x + 10 = 0\)
\(D = 441 — 4 \cdot 8 \cdot 10 = 121\)
\(x_1 = \frac{21 — 11}{2 \cdot 8} = \frac{5}{8}\)
\(x_2 = \frac{21 + 11}{2 \cdot 8} = 2\)
Тогда:
\(y_1 = 21 — 8 \cdot \frac{5}{8} = 16\)
\(y_2 = 21 — 8 \cdot 2 = 5\)

Ответ: \((-2; -5), \left(-\frac{5}{8}; -16\right), \left(\frac{5}{8}; 16\right)\) и \((2; 5)\).