ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 14 Номер 10 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 50 км, навстречу друг другу одновременно отправились в пеший поход два туриста. Через 5 ч после начала движения они встретились. После встречи скорость первого туриста, идущего из А в В, уменьшилась на 1 км/ч, а скорость второго, идущего из В в A, увеличилась на 1 км/ч. Первый турист прибыл в пункт В на 2 ч раньше, чем второй в пункт А. Найдите первоначальную скорость первого туриста.

Пусть время велосипедиста \( t_1 \), время мотоциклиста \( t_2 \), и \( t_1 — t_2 = 56 \).

За 1 минуту мотоциклист проезжает \(\frac{1}{t_2}\) часть пути, велосипедист — \(\frac{1}{t_1}\).

За 21 минуту мотоциклист проедет \(\frac{21}{t_2}\), велосипедист — \(\frac{21}{t_1}\).

Так как вместе они проехали весь путь за 21 минуту, уравнение:
\(\frac{21}{t_1} + \frac{21}{t_2} = 1\).

Система уравнений:
\[
\begin{cases}
t_1 — t_2 = 56 \\
\frac{21}{t_1} + \frac{21}{t_2} = 1
\end{cases}
\]

Выразим \( t_1 = 56 + t_2 \) и подставим во второе уравнение:
\[
\frac{21}{56 + t_2} + \frac{21}{t_2} = 1
\]

Умножим на \( t_2(56 + t_2) \):
\[
21 t_2 + 21(56 + t_2) = t_2(56 + t_2)
\]

Раскроем скобки:
\[
21 t_2 + 1176 + 21 t_2 = 56 t_2 + t_2^2
\]

Соберём все в одну сторону:
\[
t_2^2 + 14 t_2 — 1176 = 0
\]

Дискриминант:
\[
D = 14^2 + 4 \cdot 1176 = 196 + 4704 = 4900
\]

Корни:
\[
t_2 = \frac{-14 \pm 70}{2}
\]

Отрицательный корень не подходит, значит:
\[
t_2 = \frac{-14 + 70}{2} = 28
\]

Время велосипедиста:
\[
t_1 = 56 + 28 = 84 \text{ минуты} = 1 \text{ час } 24 \text{ минуты}
\]

Ответ: 1 час 24 минуты.

1. Рассмотрим задачу, в которой два участника — велосипедист и мотоциклист — должны проехать расстояние между двумя городами. Пусть время, за которое велосипедист проезжает это расстояние, равно \( t_1 \) минут, а мотоциклист тратит на этот путь \( t_2 \) минут. Из условия задачи известно, что велосипедист едет медленнее, и разница во времени между ними составляет 56 минут, то есть \( t_1 — t_2 = 56 \). Это первое уравнение, которое связывает времена движения обоих участников.

2. Для удобства примем расстояние между городами за единицу. Тогда скорость каждого участника можно выразить через время: скорость велосипедиста равна \( \frac{1}{t_1} \) пути в минуту, а скорость мотоциклиста — \( \frac{1}{t_2} \). Если они едут одновременно и вместе проходят весь путь за 21 минуту, то за это время каждый из них проедет часть пути, равную произведению скорости на время, то есть велосипедист — \( \frac{21}{t_1} \), а мотоциклист — \( \frac{21}{t_2} \).

3. Поскольку вместе они прошли весь путь, сумма пройденных ими частей равна 1. Это даёт второе уравнение задачи: \( \frac{21}{t_1} + \frac{21}{t_2} = 1 \). Таким образом, мы имеем систему двух уравнений:
\( \begin{cases} t_1 — t_2 = 56 \\ \frac{21}{t_1} + \frac{21}{t_2} = 1 \end{cases} \).

4. Из первого уравнения выразим \( t_1 \) через \( t_2 \): \( t_1 = 56 + t_2 \). Подставим это выражение во второе уравнение, чтобы получить уравнение с одной неизвестной:
\( \frac{21}{56 + t_2} + \frac{21}{t_2} = 1 \).

5. Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на произведение знаменателей \( t_2 (56 + t_2) \). Тогда уравнение примет вид:
\( 21 t_2 + 21 (56 + t_2) = t_2 (56 + t_2) \).

6. Раскроем скобки и упростим левую часть:
\( 21 t_2 + 1176 + 21 t_2 = 56 t_2 + t_2^2 \),
что эквивалентно
\( 42 t_2 + 1176 = 56 t_2 + t_2^2 \).

7. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения для приведения к стандартному виду квадратного уравнения:
\( t_2^2 + 14 t_2 — 1176 = 0 \).

8. Найдём дискриминант квадратного уравнения по формуле
\( D = b^2 — 4 a c \), где \( a = 1 \), \( b = 14 \), \( c = -1176 \).
Подставим значения:
\( D = 14^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1176) = 196 + 4704 = 4900 \).

9. Найдём корни уравнения по формуле
\( t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a} \),
то есть
\( t_2 = \frac{-14 \pm 70}{2} \).

10. Рассмотрим оба варианта корней:
\( t_2 = \frac{-14 + 70}{2} = 28 \) и \( t_2 = \frac{-14 — 70}{2} = -42 \).
Отрицательное значение времени не имеет физического смысла, поэтому принимаем \( t_2 = 28 \) минут.

11. Теперь найдём \( t_1 \) по формуле из первого уравнения:
\( t_1 = 56 + 28 = 84 \) минуты.

12. Переведём минуты в часы и минуты:
84 минуты — это 1 час и 24 минуты.

13. Ответ: велосипедист проезжает расстояние за 1 час 24 минуты.