ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 14 Номер 2 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

В зрительном зале кинотеатра было 320 мест, расположенных одинаковыми рядами. После ремонта количество мест в каждом ряду увеличили на 4 и добавили ещё один ряд, вследствие чего в зале стало 420 мест. Сколько было рядов в зрительном зале до ремонта?

Пусть до ремонта в зале было \(x\) рядов, в каждом из которых было \(y\) мест. Поскольку всего в зале было 320 мест, то можем записать уравнение: \(xy = 320\).

После ремонта стало \((x + 1)\) рядов в каждом из которых \((y + 4)\) мест. Поскольку всего в зале стало 420 мест, то можем записать уравнение: \((x + 1)(y + 4) = 420\).

Составим систему уравнений:
\(
\begin{cases}
xy = 320 \\
(x + 1)(y + 4) = 420
\end{cases}
\)

Раскроем скобки во втором уравнении:
\(
xy + 4x + y + 4 = 420
\)

Подставим из первого уравнения \(xy = 320\):
\(
320 + 4x + y + 4 = 420
\)

\(
xy = 320
\)
\(
xy + 4x + y = 416
\)

Вычтем почленно левые и правые части уравнений:
\(
(xy + 4x + y) — xy = 416 — 320
\)
\(
xy + 4x + y — xy = 96
\)
\(
4x + y = 96
\)

Выразим из полученного уравнения переменную \(y\) через переменную \(x\):
\(
y = 96 — 4x
\)

Подставим полученное выражение вместо \(y\) в первое уравнение системы:
\(
x(96 — 4x) = 320
\)
\(
96x — 4x^2 = 320
\)
\(
4x^2 — 96x + 320 = 0
\)

Разделим уравнение на 4:
\(
x^2 — 24x + 80 = 0
\)

По теореме Виета:
\(
x_1 = 4, \quad x_2 = 20
\)

Таким образом, до ремонта в зале было 4 ряда или 20 рядов.

Ответ: 4 ряда или 20 рядов

Пусть до ремонта в зале было \(x\) рядов, в каждом из которых было \(y\) мест. Поскольку всего в зале было 320 мест, то можем записать уравнение: \(xy = 320\).

После ремонта стало \((x + 1)\) рядов в каждом из которых \((y + 4)\) мест. Поскольку всего в зале стало 420 мест, то можем записать уравнение: \((x + 1)(y + 4) = 420\).

Составим систему уравнений:
\(
\begin{cases}
xy = 320 \\
(x + 1)(y + 4) = 420
\end{cases}
\)

Раскроем скобки во втором уравнении:
\(
xy + 4x + y + 4 = 420
\)

Подставим из первого уравнения \(xy = 320\):
\(
320 + 4x + y + 4 = 420
\)

\(
xy = 320
\)
\(
xy + 4x + y = 416
\)

Вычтем почленно левые и правые части уравнений:
\(
(xy + 4x + y) — xy = 416 — 320
\)
\(
xy + 4x + y — xy = 96
\)
\(
4x + y = 96
\)

Выразим из полученного уравнения переменную \(y\) через переменную \(x\):
\(
y = 96 — 4x
\)

Подставим полученное выражение вместо \(y\) в первое уравнение системы:
\(
x(96 — 4x) = 320
\)
\(
96x — 4x^2 = 320
\)
\(
4x^2 — 96x + 320 = 0
\)

Разделим уравнение на 4:
\(
x^2 — 24x + 80 = 0
\)

По теореме Виета:
\(
x_1 = 4, \quad x_2 = 20
\)

Таким образом, до ремонта в зале было 4 ряда или 20 рядов.

Ответ: 4 ряда или 20 рядов.

Пусть до ремонта в зале было \(x\) рядов, а в каждом ряду находилось по \(y\) мест. Тогда общее количество мест в зале до ремонта можно выразить произведением \(x\) на \(y\), то есть \(xy\). По условию задачи всего мест было 320, следовательно, уравнение для количества мест до ремонта принимает вид \(xy = 320\). Это уравнение показывает, что число рядов и число мест в каждом ряду связаны таким образом, что их произведение всегда равно 320.

После ремонта количество рядов увеличилось на один, а количество мест в каждом ряду увеличилось на четыре. То есть теперь рядов стало \(x + 1\), а мест в каждом ряду стало \(y + 4\). Общее количество мест после ремонта равно произведению нового количества рядов и нового количества мест в ряду: \((x + 1)(y + 4)\). По условию после ремонта общее количество мест стало 420, значит можно записать уравнение \((x + 1)(y + 4) = 420\). Раскроем скобки в этом уравнении: \(xy + 4x + y + 4 = 420\). Здесь мы видим сумму произведения \(xy\), увеличенного на дополнительные места и ряды.

Подставим в это уравнение значение \(xy\) из первого уравнения, то есть 320. Тогда получаем: \(320 + 4x + y + 4 = 420\). Переносим известные числа в правую часть уравнения, получаем \(4x + y = 420 — 320 — 4\), что упрощается до \(4x + y = 96\). Теперь у нас есть две формулы: \(xy = 320\) и \(4x + y = 96\). Из второго уравнения выразим \(y\) через \(x\): \(y = 96 — 4x\). Подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение: \(x(96 — 4x) = 320\). Раскроем скобки: \(96x — 4x^2 = 320\). Переносим все члены в одну сторону: \(4x^2 — 96x + 320 = 0\). Делим уравнение на 4 для упрощения: \(x^2 — 24x + 80 = 0\).

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 24, а произведение корней равно 80. Корни уравнения: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = 20\). Подставляя эти значения обратно в выражение для \(y\), получаем \(y_1 = 96 — 4 \cdot 4 = 80\) и \(y_2 = 96 — 4 \cdot 20 = 16\). Таким образом, до ремонта в зале было либо 4 ряда по 80 мест, либо 20 рядов по 16 мест. Оба варианта удовлетворяют исходным условиям задачи.

Итог: до ремонта в зале могло быть 4 ряда или 20 рядов. Это решение показывает, как с помощью системы уравнений и алгебраических преобразований можно найти количество рядов и мест в зале до и после ремонта, учитывая изменение параметров и общее количество мест.