ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 14 Номер 4 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Расстояние между двумя пристанями на реке, равное 45 км, катер проходит туда и обратно за 3 ч 45 мин, а 60 км по течению реки на 1 ч быстрее, чем 60 км против течения. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Пусть собственная скорость катера \(x\) км/ч, скорость течения \(y\) км/ч. Скорость по течению \(x + y\), против течения \(x — y\).

Время на 45 км туда и обратно: \(\frac{45}{x+y} + \frac{45}{x-y} = 3 \frac{3}{4}\).

Время на 60 км по течению и против: \(\frac{60}{x-y} — \frac{60}{x+y} = 1\).

Умножаем и упрощаем:

\(90x = \frac{15}{4} (x^2 — y^2)\), \(120y = x^2 — y^2\).

Приравниваем: \(24x = 120y\), значит \(x = 5y\).

Подставляем в уравнение: \(24y^2 = 120y\), даёт \(y = 5\).

Тогда \(x = 25\).

Ответ: собственная скорость катера 25 км/ч, скорость течения 5 км/ч.

Пусть собственная скорость катера \(x\) км/ч, скорость течения \(y\) км/ч. Скорость по течению \(x + y\), против течения \(x — y\).

Время на 45 км туда и обратно: \(\frac{45}{x+y} + \frac{45}{x-y} = 3 \frac{3}{4}\).

Время на 60 км по течению и против: \(\frac{60}{x-y} — \frac{60}{x+y} = 1\).

Умножаем и упрощаем:

\(90x = \frac{15}{4} (x^2 — y^2)\), \(120y = x^2 — y^2\).

Приравниваем: \(24x = 120y\), значит \(x = 5y\).

Подставляем в уравнение: \(24y^2 = 120y\), даёт \(y = 5\).

Тогда \(x = 25\).

Ответ: собственная скорость катера 25 км/ч, скорость течения 5 км/ч.

Пусть собственная скорость катера равна \(x\) км/ч, а скорость течения реки — \(y\) км/ч. Это означает, что если катер движется по течению, то его скорость будет складываться из собственной скорости и скорости течения, то есть \(x + y\) км/ч. Если же катер движется против течения, то скорость уменьшается на скорость течения, и получается \(x — y\) км/ч. Эти выражения позволяют нам определить время, за которое катер проходит определённое расстояние по течению и против течения.

Из условия известно, что катер проходит 45 км по течению за время \(\frac{45}{x+y}\) часов, а против течения — за время \(\frac{45}{x-y}\) часов. Весь путь туда и обратно занимает 3 часа 45 минут, что можно записать как \(3 \frac{3}{4}\) часа или \(3.75\) часа. Тогда сумма времени движения в обе стороны равна \(3 \frac{3}{4}\), и мы можем записать уравнение: \(\frac{45}{x+y} + \frac{45}{x-y} = 3 \frac{3}{4}\). Это уравнение отражает общее время пути на расстояние 90 км (45 км туда и 45 км обратно).

Далее, катер проходит 60 км по течению за \(\frac{60}{x+y}\) часов и 60 км против течения за \(\frac{60}{x-y}\) часов. Из условия задачи известно, что время, затраченное на путь по течению, на 1 час меньше времени, затраченного на путь против течения. Это даёт второе уравнение: \(\frac{60}{x-y} — \frac{60}{x+y} = 1\). Таким образом, мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

\(
\begin{cases}
\frac{45}{x+y} + \frac{45}{x-y} = 3 \frac{3}{4} \\
\frac{60}{x-y} — \frac{60}{x+y} = 1
\end{cases}
\)

Для решения системы уравнений избавимся от дробей, умножив каждое уравнение на общий знаменатель. Перепишем первое уравнение, умножив на \((x+y)(x-y)\):

\(
45(x-y) + 45(x+y) = 3 \frac{3}{4} (x+y)(x-y)
\)

Второе уравнение умножим на \((x+y)(x-y)\):

\(
60(x+y) — 60(x-y) = 1 \cdot (x+y)(x-y)
\)

Раскроем скобки и упростим. В первом уравнении левая часть:

\(
45x — 45y + 45x + 45y = 90x
\)

Правая часть первого уравнения — это \(3 \frac{3}{4} (x^2 — y^2) = \frac{15}{4} (x^2 — y^2)\).

Во втором уравнении левая часть:

\(
60x + 60y — 60x + 60y = 120y
\)

Правая часть второго уравнения — \(x^2 — y^2\).

Таким образом, система принимает вид:

\(
\begin{cases}
90x = \frac{15}{4} (x^2 — y^2) \\
120y = x^2 — y^2
\end{cases}
\)

Перепишем первое уравнение:

\(
90x = \frac{15}{4} (x^2 — y^2) \implies 360x = 15 (x^2 — y^2) \implies 24x = x^2 — y^2
\)

Второе уравнение оставим без изменений:

\(
120y = x^2 — y^2
\)

Теперь у нас есть две формулы для \(x^2 — y^2\):

\(
x^2 — y^2 = 24x
\)
и
\(
x^2 — y^2 = 120y
\)

Приравняем правые части:

\(
24x = 120y
\)

Отсюда:

\(
x = 5y
\)

Подставим \(x = 5y\) в уравнение \(x^2 — y^2 = 24x\):

\(
(5y)^2 — y^2 = 24 \cdot 5y \implies 25y^2 — y^2 = 120y \implies 24y^2 = 120y
\)

Вынесем общий множитель:

\(
24y(y — 5) = 0
\)

Решения: \(y = 0\) или \(y = 5\). Скорость течения не может быть нулём, поэтому \(y = 5\) км/ч. Тогда собственная скорость катера:

\(
x = 5y = 25 \text{ км/ч}
\)

Таким образом, собственная скорость катера равна 25 км/ч, а скорость течения реки — 5 км/ч