ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 14 Номер 5 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

От двух станций, расстояние между которыми равно 270 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 3 ч. Найдите скорость каждого поезда, если один из них потратил на путь между станциями на 1 ч 21 мин больше другого.

Пусть скорость одного поезда \(x\) км/ч, а другого — \(y\) км/ч. За 3 ч первый поезд проехал \(3x\) км, а второй — \(3y\) км. Поскольку через 3 ч поезда встретились, проехав вместе 270 км, то можем записать уравнение: \(3x + 3y = 270\).

Расстояние, равное 270 км, первый поезд проходит за \(\frac{270}{x}\) ч, а второй — за \(\frac{270}{y}\) ч. Поскольку первый поезд потратил на путь между станциями на 1 ч 21 мин = \(1 \frac{21}{60} = 1 \frac{7}{20}\) ч больше, чем второй, то можем записать уравнение:

\(\frac{270}{x} — \frac{270}{y} = 1 \frac{7}{20}\).

Составим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
3x + 3y = 270 \\
\frac{270}{x} — \frac{270}{y} = \frac{27}{20}
\end{cases}
\]

Упростим первое уравнение, разделив на 3:

\(x + y = 90\).

Подставим \(x = 90 — y\) во второе уравнение:

\(\frac{270}{90 — y} — \frac{270}{y} = \frac{27}{20}\).

Домножим на \(20 y (90 — y)\) для избавления от знаменателей:

\(20 y \cdot 270 — 20 (90 — y) \cdot 270 = 27 y (90 — y)\).

Раскроем скобки:

\(5400 y — 5400 (90 — y) = 27 y (90 — y)\),

\(5400 y — 486000 + 5400 y = 27 y (90 — y)\),

\(10800 y — 486000 = 27 y (90 — y)\).

Раскроем правую часть:

\(10800 y — 486000 = 2430 y — 27 y^2\).

Перенесём всё в левую часть:

\(10800 y — 486000 — 2430 y + 27 y^2 = 0\),

\(27 y^2 + (10800 — 2430) y — 486000 = 0\),

\(27 y^2 + 8370 y — 486000 = 0\).

Разделим на 27:

\(y^2 + 310 y — 18000 = 0\).

Дискриминант:

\(D = 310^2 + 4 \cdot 18000 = 96100 + 72000 = 168100\).

Корни:

\(y_1 = \frac{-310 — 410}{2} = -360 < 0\) — не подходит;

\(y_2 = \frac{-310 + 410}{2} = \frac{100}{2} = 50\) (км/ч) — скорость второго поезда.

Тогда скорость первого поезда:

\(x = 90 — y = 90 — 50 = 40\) (км/ч).

Ответ: 40 км/ч и 50 км/ч.

Пусть скорость одного поезда \(x\) км/ч, а другого — \(y\) км/ч. За 3 ч первый поезд проехал \(3x\) км, а второй — \(3y\) км. Поскольку через 3 ч поезда встретились, проехав вместе 270 км, то можем записать уравнение: \(3x + 3y = 270\).

Расстояние, равное 270 км, первый поезд проходит за \(\frac{270}{x}\) ч, а второй — за \(\frac{270}{y}\) ч. Поскольку первый поезд потратил на путь между станциями на 1 ч 21 мин = \(1 \frac{21}{60} = 1 \frac{7}{20}\) ч больше, чем второй, то можем записать уравнение:

\(\frac{270}{x} — \frac{270}{y} = 1 \frac{7}{20}\).

Составим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
3x + 3y = 270 \\
\frac{270}{x} — \frac{270}{y} = \frac{27}{20}
\end{cases}
\]

Упростим первое уравнение, разделив на 3:

\(x + y = 90\).

Подставим \(x = 90 — y\) во второе уравнение:

\(\frac{270}{90 — y} — \frac{270}{y} = \frac{27}{20}\).

Домножим на \(20 y (90 — y)\) для избавления от знаменателей:

\(20 y \cdot 270 — 20 (90 — y) \cdot 270 = 27 y (90 — y)\).

Раскроем скобки:

\(5400 y — 5400 (90 — y) = 27 y (90 — y)\),

\(5400 y — 486000 + 5400 y = 27 y (90 — y)\),

\(10800 y — 486000 = 27 y (90 — y)\).

Раскроем правую часть:

\(10800 y — 486000 = 2430 y — 27 y^2\).

Перенесём всё в левую часть:

\(10800 y — 486000 — 2430 y + 27 y^2 = 0\),

\(27 y^2 + (10800 — 2430) y — 486000 = 0\),

\(27 y^2 + 8370 y — 486000 = 0\).

Разделим на 27:

\(y^2 + 310 y — 18000 = 0\).

Дискриминант:

\(D = 310^2 + 4 \cdot 18000 = 96100 + 72000 = 168100\).

Корни:

\(y_1 = \frac{-310 — 410}{2} = -360 < 0\) — не подходит;

\(y_2 = \frac{-310 + 410}{2} = \frac{100}{2} = 50\) (км/ч) — скорость второго поезда.

Тогда скорость первого поезда:

\(x = 90 — y = 90 — 50 = 40\) (км/ч).

Ответ: 40 км/ч и 50 км/ч.

Пусть скорости двух поездов равны \(x\) и \(y\) километров в час. Они движутся навстречу друг другу и встречаются через 3 часа после отправления. Значит, за это время первый поезд проехал расстояние \(3x\), а второй — \(3y\). Из условия известно, что суммарное расстояние, которое они прошли до встречи, равно 270 километрам. Это можно записать уравнением \(3x + 3y = 270\). Разделив обе части на 3, получаем более простое уравнение \(x + y = 90\). Это уравнение связывает скорости поездов: сумма их скоростей равна 90 км/ч.

Далее рассмотрим, сколько времени каждый поезд затратит на прохождение всего пути между двумя станциями, расстояние между которыми равно 270 км. Время, затраченное первым поездом, равно \(\frac{270}{x}\) часов, а вторым — \(\frac{270}{y}\) часов. Из условия известно, что первый поезд затратил на весь путь на 1 час 21 минуту больше, чем второй. Переведём 1 час 21 минуту в дробное число: 1 час 21 минута = \(1 + \frac{21}{60} = 1 + \frac{7}{20} = \frac{27}{20}\) часа. Таким образом, разница во времени равна \(\frac{27}{20}\) часа, и можно записать уравнение \(\frac{270}{x} — \frac{270}{y} = \frac{27}{20}\).

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\(\begin{cases}
x + y = 90 \\
\frac{270}{x} — \frac{270}{y} = \frac{27}{20}
\end{cases}\)

Подставим из первого уравнения выражение для \(x\): \(x = 90 — y\). Тогда второе уравнение примет вид \(\frac{270}{90 — y} — \frac{270}{y} = \frac{27}{20}\). Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель \(20 y (90 — y)\):

\(20 y (90 — y) \left( \frac{270}{90 — y} — \frac{270}{y} \right) = 20 y (90 — y) \cdot \frac{27}{20}\)

Раскроем скобки и сократим:

\(20 y \cdot 270 — 20 (90 — y) \cdot 270 = 27 y (90 — y)\)

Это даёт:

\(5400 y — 5400 (90 — y) = 27 y (90 — y)\)

Раскроем скобки в левой части:

\(5400 y — 486000 + 5400 y = 27 y (90 — y)\)

Сложим похожие члены:

\(10800 y — 486000 = 27 y (90 — y)\)

Раскроем правую часть:

\(10800 y — 486000 = 2430 y — 27 y^{2}\)

Перенесём все члены в левую часть уравнения:

\(10800 y — 486000 — 2430 y + 27 y^{2} = 0\)

Упростим:

\(27 y^{2} + (10800 — 2430) y — 486000 = 0\)

\(27 y^{2} + 8370 y — 486000 = 0\)

Для удобства разделим уравнение на 27:

\(y^{2} + 310 y — 18000 = 0\)

Рассчитаем дискриминант \(D\):

\(D = 310^{2} + 4 \cdot 18000 = 96100 + 72000 = 168100\)

Найдём корни квадратного уравнения по формуле:

\(y = \frac{-310 \pm \sqrt{168100}}{2}\)

Поскольку \(\sqrt{168100} = 410\), получаем два корня:

\(y_{1} = \frac{-310 — 410}{2} = \frac{-720}{2} = -360\)

\(y_{2} = \frac{-310 + 410}{2} = \frac{100}{2} = 50\)

Отрицательное значение скорости \(y_1 = -360\) км/ч не имеет физического смысла, поэтому принимаем \(y = 50\) км/ч. Подставляя это значение в уравнение \(x + y = 90\), находим скорость первого поезда:

\(x = 90 — 50 = 40\)

Таким образом, скорость первого поезда равна 40 км/ч, а второго — 50 км/ч.