ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 14 Номер 6 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Расстояние между двумя деревнями, равное 48 км, первый велосипедист проезжает на 32 мин быстрее второго. Найдите скорость каждого велосипедиста, если известно, что за 30 мин первый велосипедист проезжает на 6 км меньше, чем второй велосипедист за 1 ч.

Пусть скорость первого велосипедиста \( x \) км/ч, тогда скорость второго — \( y \) км/ч.

48 км первый велосипедист проезжает за \(\frac{48}{x}\) ч, а второй – за \(\frac{48}{y}\) ч. Поскольку первый велосипедист проезжает это расстояние на 32 мин = \(\frac{32}{60} = \frac{8}{15}\) ч быстрее второго, то можем записать уравнение:
\[
\frac{48}{y} — \frac{48}{x} = \frac{8}{15}.
\]

Первый велосипедист за 30 мин = 0,5 ч проезжает \(0,5x\) км, а второй велосипедист за 1 ч проезжает \(y\) км. Поскольку первый велосипедист за 30 мин проезжает на 6 км меньше, чем второй за 1 ч, то можем записать уравнение:
\[
y — 0,5x = 6.
\]

Составим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
\frac{48}{y} — \frac{48}{x} = \frac{8}{15}, \\
y — 0,5x = 6.
\end{cases}
\]

Умножим второе уравнение на 2:
\[
2y — x = 12.
\]

Подставим \(x = 2y — 12\) в первое уравнение:
\[
\frac{48}{y} — \frac{48}{2y — 12} = \frac{8}{15}.
\]

Приведём к общему знаменателю и умножим на \(15 y (2y — 12)\):
\[
15 \cdot 48 (2y — 12) — 15 \cdot 48 y = 8 y (2y — 12).
\]

Раскроем скобки:
\[
720 (2y — 12) — 720 y = 8 y (2y — 12).
\]

Подставим \(x = 2y — 12\) и упростим:
\[
1440 y — 8640 — 720 y = 16 y^2 — 96 y.
\]

Перенесём все в одну сторону:
\[
1440 y — 8640 — 720 y — 16 y^2 + 96 y = 0,
\]
\[
-16 y^2 + 816 y — 8640 = 0.
\]

Поделим на \(-16\):
\[
y^2 — 51 y + 540 = 0.
\]

Вычислим дискриминант:
\[
D = (-51)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 540 = 2601 — 2160 = 441.
\]

Найдём корни:
\[
y_1 = \frac{51 — 21}{2} = 15, \quad y_2 = \frac{51 + 21}{2} = 36.
\]

Корень \(y_2 = 36\) не подходит, потому что скорость второго велосипедиста не может быть такой большой.

Тогда скорость первого велосипедиста:
\[
x = 2y — 12 = 2 \cdot 15 — 12 = 30 — 12 = 18 \text{ км/ч}.
\]

Ответ:
\(18\) км/ч и \(15\) км/ч.

Пусть скорость первого велосипедиста \( x \) км/ч, тогда скорость второго — \( y \) км/ч.

48 км первый велосипедист проезжает за \(\frac{48}{x}\) ч, а второй – за \(\frac{48}{y}\) ч. Поскольку первый велосипедист проезжает это расстояние на 32 мин = \(\frac{32}{60} = \frac{8}{15}\) ч быстрее второго, то можем записать уравнение:
\[
\frac{48}{y} — \frac{48}{x} = \frac{8}{15}.
\]

Первый велосипедист за 30 мин = 0,5 ч проезжает \(0,5x\) км, а второй велосипедист за 1 ч проезжает \(y\) км. Поскольку первый велосипедист за 30 мин проезжает на 6 км меньше, чем второй за 1 ч, то можем записать уравнение:
\[
y — 0,5x = 6.
\]

Составим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
\frac{48}{y} — \frac{48}{x} = \frac{8}{15}, \\
y — 0,5x = 6.
\end{cases}
\]

Умножим второе уравнение на 2:
\[
2y — x = 12.
\]

Подставим \(x = 2y — 12\) в первое уравнение:
\[
\frac{48}{y} — \frac{48}{2y — 12} = \frac{8}{15}.
\]

Приведём к общему знаменателю и умножим на \(15 y (2y — 12)\):
\[
15 \cdot 48 (2y — 12) — 15 \cdot 48 y = 8 y (2y — 12).
\]

Раскроем скобки:
\[
720 (2y — 12) — 720 y = 8 y (2y — 12).
\]

Подставим \(x = 2y — 12\) и упростим:
\[
1440 y — 8640 — 720 y = 16 y^2 — 96 y.
\]

Перенесём все в одну сторону:
\[
1440 y — 8640 — 720 y — 16 y^2 + 96 y = 0,
\]
\[
-16 y^2 + 816 y — 8640 = 0.
\]

Поделим на \(-16\):
\[
y^2 — 51 y + 540 = 0.
\]

Вычислим дискриминант:
\[
D = (-51)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 540 = 2601 — 2160 = 441.
\]

Найдём корни:
\[
y_1 = \frac{51 — 21}{2} = 15, \quad y_2 = \frac{51 + 21}{2} = 36.
\]

Корень \(y_2 = 36\) не подходит, потому что скорость второго велосипедиста не может быть такой большой.

Тогда скорость первого велосипедиста:
\[
x = 2y — 12 = 2 \cdot 15 — 12 = 30 — 12 = 18 \text{ км/ч}.
\]

Ответ:
\(18\) км/ч и \(15\) км/ч.

Пусть скорость первого велосипедиста равна \( x \) км/ч, а скорость второго — \( y \) км/ч. Из условия известно, что оба велосипедиста проезжают расстояние в 48 км, но с разной скоростью. Первый велосипедист проезжает это расстояние за время \( \frac{48}{x} \) часов, так как время равно расстоянию, делённому на скорость. Аналогично, второй велосипедист проезжает это же расстояние за время \( \frac{48}{y} \) часов. Дано, что первый велосипедист проезжает это расстояние на 32 минуты, то есть на \( \frac{32}{60} = \frac{8}{15} \) часа быстрее второго. Это позволяет составить первое уравнение, выражающее разницу во времени:
\( \frac{48}{y} — \frac{48}{x} = \frac{8}{15} \).
Это уравнение отражает факт, что время второго велосипедиста минус время первого равно \( \frac{8}{15} \) часа.

Далее, для второго уравнения учитывается другая информация: первый велосипедист за 30 минут (или 0,5 часа) проезжает расстояние \( 0,5x \) км, потому что расстояние равно скорости, умноженной на время. Второй велосипедист за 1 час проезжает \( y \) км. Из условия следует, что за 30 минут первый велосипедист проезжает на 6 км меньше, чем второй за 1 час. Это можно записать уравнением:
\( y — 0,5x = 6 \).
Это уравнение показывает разницу в пройденных расстояниях за разные промежутки времени.

Таким образом, у нас есть система из двух уравнений:
\[
\begin{cases}
\frac{48}{y} — \frac{48}{x} = \frac{8}{15}, \\
y — 0,5x = 6.
\end{cases}
\]
Чтобы упростить второе уравнение, умножим его на 2:
\( 2y — x = 12 \),
и выразим \( x \) через \( y \):
\( x = 2y — 12 \).

Подставим это выражение в первое уравнение:
\( \frac{48}{y} — \frac{48}{2y — 12} = \frac{8}{15} \).
Для решения уравнения избавимся от дробей, умножив обе части на общий знаменатель \( 15 y (2y — 12) \):
\( 15 \cdot 48 (2y — 12) — 15 \cdot 48 y = 8 y (2y — 12) \).
Раскроем скобки:
\( 720 (2y — 12) — 720 y = 8 y (2y — 12) \).
Раскроем выражения:
\( 1440 y — 8640 — 720 y = 16 y^{2} — 96 y \).

Перенесём все члены в одну сторону уравнения:
\( 1440 y — 8640 — 720 y — 16 y^{2} + 96 y = 0 \),
что упрощается до
\( -16 y^{2} + 816 y — 8640 = 0 \).

Разделим уравнение на \(-16\) для удобства:
\( y^{2} — 51 y + 540 = 0 \).
Рассчитаем дискриминант:
\( D = (-51)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 540 = 2601 — 2160 = 441 \).
Найдём корни квадратного уравнения:
\( y_{1} = \frac{51 — 21}{2} = 15 \),
\( y_{2} = \frac{51 + 21}{2} = 36 \).

Поскольку скорость второго велосипедиста не может быть слишком большой, отбрасываем \( y_{2} = 36 \) и выбираем \( y = 15 \) км/ч. Подставляя это значение в выражение для \( x \), получаем:
\( x = 2 \cdot 15 — 12 = 30 — 12 = 18 \) км/ч.

Ответ: скорости первого и второго велосипедистов равны соответственно \( 18 \) км/ч и \( 15 \) км/ч.