ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 14 Номер 7 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Двое рабочих могут выполнить производственное задание, работая вместе, за 2 ч. За сколько часов может выполнить это задание каждый рабочий самостоятельно, если одному из них для выполнения 1/3 задания надо на 3 ч меньше, чем второму для выполнения 2/3 задания?

Пусть первый рабочий выполняет задание за \(x\) часов, второй — за \(y\) часов. Тогда за 2 часа они вместе выполняют работу: \(\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 1\).

Первый рабочий выполняет \(\frac{1}{3}\) задания за \(\frac{1}{3}x\) часов, второй — \(\frac{2}{3}\) задания за \(\frac{2}{3}y\) часов. Первый рабочий тратит на это на 3 часа меньше, значит: \(\frac{2}{3}y — \frac{1}{3}x = 3\).

Система уравнений:
\(\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 1\),
\(\frac{2}{3}y — \frac{1}{3}x = 3\).

Второе уравнение умножим на 3:
\(2y — x = 9\), откуда \(x = 2y — 9\).

Подставим в первое:
\(\frac{2}{2y — 9} + \frac{2}{y} = 1\).

Решая полученное квадратное уравнение, находим \(y = 6\) (отрицательное значение отбрасываем).

Тогда \(x = 2 \cdot 6 — 9 = 3\).

Ответ: первый рабочий выполняет задание за \(3\) часа, второй — за \(6\) часов.

Пусть первый рабочий может выполнить самостоятельно все задание за \(x\) ч, а второй — за \(y\) ч. Тогда за один час первый рабочий выполняет \(\frac{1}{x}\) часть задания, а за 2 ч — \(\frac{2}{x}\) часть задания. Второй рабочий за один час выполняет \(\frac{1}{y}\) часть задания, а за 2 ч — \(\frac{2}{y}\) часть задания.

Поскольку за 2 ч совместной работы они выполняют все задание, то можем записать уравнение:
\(\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 1\).

Первый рабочий выполняет \(\frac{1}{3}\) задания за \(\frac{1}{3}x\) ч, а второй \(\frac{2}{3}\) задания — за \(\frac{2}{3}y\) ч.

Поскольку первый рабочий выполняет \(\frac{1}{3}\) задания на 3 ч меньше, чем второй \(\frac{2}{3}\) задания, то можем записать уравнение:
\(\frac{2}{3}y — \frac{1}{3}x = 3\).

Составим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 1 \\
\frac{2}{3}y — \frac{1}{3}x = 3
\end{cases}
\]

Перепишем систему:
\[
\begin{cases}
2y + 2x — xy = 0 \\
2y — x = 9
\end{cases}
\]

Из второго уравнения:
\(x = 2y — 9\).

Подставим в первое:
\(2y + 2(2y — 9) — y(2y — 9) = 0\).

Раскроем скобки:
\(2y + 4y — 18 — 2y^2 + 9y = 0\),
\(-2y^2 + 15y — 18 = 0\).

Умножим на \(-1\):
\(2y^2 — 15y + 18 = 0\).

Вычислим дискриминант:
\(D = (-15)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 — 144 = 81\).

Найдем корни:
\(y_1 = \frac{15 — 9}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5\),
\(y_2 = \frac{15 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6\).

Тогда:
\(x_1 = 2 \cdot 1.5 — 9 = 3 — 9 = -6 < 0\) — не подходит,
\(x_2 = 2 \cdot 6 — 9 = 12 — 9 = 3\).

Следовательно, первый рабочий может выполнить самостоятельно все задание за 3 ч, а второй — за 6 ч.

Ответ: за 3 ч и за 6 ч.