ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 14 Номер 8 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Две бригады, работая вместе, могут отремонтировать дорогу за 20 дней. Первая бригада работала на ремонте дороги 9 дней, после чего к ней присоединилась вторая бригада. Через 6 дней совместной работы оказалось, что отремонтировали половину дороги. За сколько дней может отремонтировать эту дорогу самостоятельно каждая бригада?

Пусть первая бригада ремонтирует дорогу за \(x\) дней, вторая — за \(y\) дней.

За один день первая бригада ремонтирует \(\frac{1}{x}\) часть дороги, вторая — \(\frac{1}{y}\).

За 20 дней совместной работы отремонтировали всю дорогу:
\(20 \cdot \frac{1}{x} + 20 \cdot \frac{1}{y} = 1\), или
\(\frac{20}{x} + \frac{20}{y} = 1\).

Первая бригада за 15 дней ремонтирует \(\frac{15}{x}\) части дороги, вторая за 6 дней — \(\frac{6}{y}\).
За 6 дней совместной работы отремонтировали половину дороги:
\(\frac{15}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{2}\).

Получаем систему уравнений:
\(\begin{cases} \frac{20}{x} + \frac{20}{y} = 1 \\ \frac{15}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{2} \end{cases}\).

Домножим первое уравнение на \(xy\):
\(20y + 20x = xy\).

Второе уравнение домножим на \(2xy\):
\(30y + 12x = xy\).

Вычитая первое из второго:
\(30y + 12x — 20y — 20x = 0 \Rightarrow 10y — 8x = 0\).

Отсюда:
\(10y = 8x \Rightarrow y = 0{,}8x\).

Подставим в первое уравнение:
\(20 \cdot 0{,}8x + 20x = x \cdot 0{,}8x\),
\(16x + 20x = 0{,}8x^2\),
\(36x = 0{,}8x^2\),
\(0{,}8x^2 — 36x = 0\),
\(x(0{,}8x — 36) = 0\).

\(x = 0\) не подходит, значит
\(0{,}8x — 36 = 0 \Rightarrow x = \frac{36}{0{,}8} = 45\).

Тогда
\(y = 0{,}8 \cdot 45 = 36\).

Ответ: первая бригада ремонтирует дорогу за 45 дней, вторая — за 36 дней.

1. Пусть первая бригада может самостоятельно отремонтировать дорогу за \(x\) дней, а вторая — за \(y\) дней. Тогда за один день первая бригада ремонтирует \(\frac{1}{x}\) часть дороги, а за 20 дней — \( \frac{20}{x} \) части дороги. Вторая бригада за один день ремонтирует \(\frac{1}{y}\) часть дороги, а за 20 дней — \( \frac{20}{y} \) части дороги.

2. Поскольку за 20 дней совместной работы они отремонтировали всю дорогу, можно записать уравнение:
\(\frac{20}{x} + \frac{20}{y} = 1\).

3. Первая бригада за \(9 + 6 = 15\) дней ремонтирует \(\frac{15}{x}\) части дороги, а вторая бригада за 6 дней ремонтирует \(\frac{6}{y}\) части дороги.

4. Поскольку через 6 дней совместной работы они отремонтировали половину дороги (\(\frac{1}{2}\) части), можно записать уравнение:
\(\frac{15}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{2}\).

5. Составим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
\frac{20}{x} + \frac{20}{y} = 1 \\
\frac{15}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{2}
\end{cases}
\]

6. Домножим первое уравнение на \(xy\):
\(20y + 20x = xy\).

Домножим второе уравнение на \(2xy\):
\(30y + 12x = xy\).

7. Вычтем первое уравнение из второго:
\(30y + 12x — 20y — 20x = 0\),
откуда
\(10y — 8x = 0\).

8. Выразим \(y\) через \(x\):
\(10y = 8x \Rightarrow y = 0{,}8x\).

9. Подставим \(y = 0{,}8x\) в уравнение \(20y + 20x = xy\):
\(20 \cdot 0{,}8x + 20x = x \cdot 0{,}8x\),
\(16x + 20x = 0{,}8x^2\),
\(36x = 0{,}8x^2\),
\(0{,}8x^2 — 36x = 0\),
\(x(0{,}8x — 36) = 0\).

10. \(x = 0\) не подходит, значит
\(0{,}8x — 36 = 0 \Rightarrow x = \frac{36}{0{,}8} = 45\).

Тогда
\(y = 0{,}8 \times 45 = 36\).

Следовательно, первая бригада может самостоятельно отремонтировать дорогу за 45 дней, а вторая — за 36 дней.