ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 14 Номер 9 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 50 км, навстречу друг другу одновременно отправились в пеший поход два туриста. Через 5 ч после начала движения они встретились. После встречи скорость первого туриста, идущего из А в В, уменьшилась на 1 км/ч, а скорость второго, идущего из В в A, увеличилась на 1 км/ч. Первый турист прибыл в пункт В на 2 ч раньше, чем второй в пункт А. Найдите первоначальную скорость первого туриста.

Пусть первая бригада ремонтирует дорогу за \(x\) дней, вторая — за \(y\) дней.

За один день первая бригада ремонтирует \(\frac{1}{x}\) часть дороги, вторая — \(\frac{1}{y}\).

За 20 дней совместной работы отремонтировали всю дорогу:
\(20 \cdot \frac{1}{x} + 20 \cdot \frac{1}{y} = 1\), или
\(\frac{20}{x} + \frac{20}{y} = 1\).

Первая бригада за 15 дней ремонтирует \(\frac{15}{x}\) части дороги, вторая за 6 дней — \(\frac{6}{y}\).
За 6 дней совместной работы отремонтировали половину дороги:
\(\frac{15}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{2}\).

Получаем систему уравнений:
\(\begin{cases} \frac{20}{x} + \frac{20}{y} = 1 \\ \frac{15}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{2} \end{cases}\).

Домножим первое уравнение на \(xy\):
\(20y + 20x = xy\).

Второе уравнение домножим на \(2xy\):
\(30y + 12x = xy\).

Вычитая первое из второго:
\(30y + 12x — 20y — 20x = 0 \Rightarrow 10y — 8x = 0\).

Отсюда:
\(10y = 8x \Rightarrow y = 0{,}8x\).

Подставим в первое уравнение:
\(20 \cdot 0{,}8x + 20x = x \cdot 0{,}8x\),
\(16x + 20x = 0{,}8x^2\),
\(36x = 0{,}8x^2\),
\(0{,}8x^2 — 36x = 0\),
\(x(0{,}8x — 36) = 0\).

\(x = 0\) не подходит, значит
\(0{,}8x — 36 = 0 \Rightarrow x = \frac{36}{0{,}8} = 45\).

Тогда
\(y = 0{,}8 \cdot 45 = 36\).

Ответ: первая бригада ремонтирует дорогу за 45 дней, вторая — за 36 дней.

Пусть первая бригада ремонтирует дорогу за \(x\) дней, а вторая — за \(y\) дней. Это означает, что за один день первая бригада выполняет \(\frac{1}{x}\) часть всей работы, а вторая — \(\frac{1}{y}\) часть. Если они работают вместе, то их суммарная производительность за один день равна \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\). Поскольку в условии сказано, что за 20 дней совместной работы они полностью отремонтировали дорогу, можно записать уравнение, отражающее этот факт: \(20 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1\), то есть \(\frac{20}{x} + \frac{20}{y} = 1\). Это первое уравнение системы.

Далее рассмотрим данные о том, что первая бригада работала 15 дней, а вторая — 6 дней, после чего они совместно работали еще 6 дней и за это время отремонтировали половину дороги. За 15 дней первая бригада сделала \(\frac{15}{x}\) части работы, а вторая за 6 дней — \(\frac{6}{y}\) части работы. Затем, работая вместе 6 дней, они сделали \(\frac{6}{x} + \frac{6}{y}\) части работы. Сложив эти части, получаем половину дороги: \(\frac{15}{x} + \frac{6}{y} + \frac{6}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{2}\). Упростим выражение: \(\frac{21}{x} + \frac{12}{y} = \frac{1}{2}\). Однако, в условии сказано, что за 6 дней совместной работы отремонтировали половину дороги, значит, до этого момента было сделано \(\frac{1}{2}\) работы. Следовательно, правильное уравнение для совместной работы 6 дней: \(6 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = \frac{1}{2}\), то есть \(\frac{6}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{2}\). Но в условии также сказано, что первая бригада работала 15 дней, а вторая — 6 дней, до начала совместной работы 6 дней. Значит, суммарно первая бригада сделала \(\frac{15}{x}\), вторая — \(\frac{6}{y}\), и вместе за 6 дней сделали \(\frac{6}{x} + \frac{6}{y}\). Тогда общее количество выполненной работы равно 1, следовательно, \(\frac{15}{x} + \frac{6}{y} + \frac{6}{x} + \frac{6}{y} = 1\), что упрощается в \(\frac{21}{x} + \frac{12}{y} = 1\). Но так как в условии указано, что за 6 дней совместной работы отремонтировали половину дороги, то \(\frac{6}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{2}\) — второе уравнение.

Теперь у нас есть система двух уравнений:
\(\frac{20}{x} + \frac{20}{y} = 1\) и \(\frac{6}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{2}\).

Домножим первое уравнение на \(xy\), чтобы избавиться от дробей: \(20y + 20x = xy\). Аналогично домножим второе уравнение на \(xy\): \(6y + 6x = \frac{1}{2} xy\), или умножив на 2: \(12y + 12x = xy\). Теперь у нас есть две алгебраические зависимости:
\(20y + 20x = xy\) и \(12y + 12x = xy\).

Вычтем второе уравнение из первого:
\((20y + 20x) — (12y + 12x) = xy — xy\),
что даёт
\(8y + 8x = 0\), или
\(8(y + x) = 0\).

Отсюда следует, что \(y + x = 0\), что невозможно для положительных значений времени работы. Значит, нужно пересмотреть уравнения.

Вернёмся к исходным уравнениям:
\(\frac{20}{x} + \frac{20}{y} = 1\) и \(\frac{6}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{2}\).

Домножим второе уравнение на \(10\):
\(\frac{60}{x} + \frac{60}{y} = 5\).

Домножим первое уравнение на 3:
\(\frac{60}{x} + \frac{60}{y} = 3\).

Получаем противоречие, значит, необходимо использовать исходные уравнения без ошибок.

Исправим: второе уравнение должно быть \(\frac{15}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{2}\), как в исходном решении.

Система тогда:
\(\frac{20}{x} + \frac{20}{y} = 1\) и \(\frac{15}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{2}\).

Домножим первое уравнение на \(xy\):
\(20y + 20x = xy\).

Домножим второе уравнение на \(2xy\):
\(30y + 12x = xy\).

Вычтем первое уравнение из второго:
\((30y + 12x) — (20y + 20x) = xy — xy\),
что даёт
\(10y — 8x = 0\), или
\(10y = 8x\),
откуда
\(y = \frac{8}{10} x = 0{,}8x\).

Подставим \(y = 0{,}8x\) в уравнение \(20y + 20x = xy\):
\(20 \cdot 0{,}8x + 20x = x \cdot 0{,}8x\),
\(16x + 20x = 0{,}8x^2\),
\(36x = 0{,}8x^2\),
\(0{,}8x^2 — 36x = 0\),
\(x(0{,}8x — 36) = 0\).

Поскольку \(x \neq 0\), то
\(0{,}8x — 36 = 0\),
откуда
\(x = \frac{36}{0{,}8} = 45\).

Тогда
\(y = 0{,}8 \times 45 = 36\).

Таким образом, первая бригада ремонтирует дорогу за 45 дней, а вторая — за 36 дней.