ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 15 Номер 15 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Пусть в первый год начислили \( x \% \), тогда во второй год — \(\frac{x}{2} \% \).

В конце первого года на вкладе стало \( 60\,000 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \) р.,
а в конце второго года — \( 60\,000 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \left(1 + \frac{x}{2 \cdot 100}\right) \) р.

Поскольку в конце второго года на счете оказалось 67 392 р., то можем записать уравнение:
\( 60\,000 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \left(1 + \frac{x}{200}\right) = 67\,392 \)

\[
\left(1 + \frac{x}{100}\right) \left(1 + \frac{x}{200}\right) = \frac{67\,392}{60\,000}
\]

\[
1 + \frac{x}{100} + \frac{x}{200} + \frac{x^2}{100 \cdot 200} = \frac{2106}{1875}
\]

\[
1 + \frac{3x}{200} + \frac{x^2}{20\,000} = \frac{702}{625} \quad | \cdot 20\,000
\]

\[
20\,000 + 3x \cdot 100 + x^2 = 702 \cdot 32
\]

\[
20\,000 + 300x + x^2 = 22\,464
\]

\[
x^2 + 300x — 2\,464 = 0
\]

\[
D = 300^2 + 4 \cdot 2\,464 = 90\,000 + 9\,856 = 99\,856
\]

\[
x_1 = \frac{-300 — 316}{2} < 0 \rightarrow \text{не подходит};
\]

\[
x_2 = \frac{-300 + 316}{2} = \frac{16}{2} = 8 \%
\]

годовых начислили вкладчику в первый год.

Ответ: 8 %.

Пусть в первый год вкладчику начислили \( x \% \) годовых. Это означает, что сумма вклада увеличилась на \( x \% \) от начальной суммы. Во втором году ставка процентов уменьшается в два раза, то есть она становится равной \(\frac{x}{2} \% \). Для расчёта итоговой суммы после двух лет нужно учитывать, что проценты начисляются последовательно: сначала первый год с процентной ставкой \( x \% \), а затем второй год с процентной ставкой \(\frac{x}{2} \% \).

В конце первого года сумма вклада будет равна исходной сумме, умноженной на коэффициент увеличения \( 1 + \frac{x}{100} \), так как \( x \% \) — это \( \frac{x}{100} \) в десятичном виде. Следовательно, сумма после первого года равна \( 60\,000 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \) рублей. Во втором году на эту сумму начисляются проценты по ставке \(\frac{x}{2} \% \), что соответствует множителю \( 1 + \frac{x}{200} \). Таким образом, сумма вклада в конце второго года выражается формулой \( 60\,000 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{x}{200}\right) \).

Из условия задачи известно, что в конце второго года на счёте оказалось 67 392 рубля. Это позволяет составить уравнение: \( 60\,000 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{x}{200}\right) = 67\,392 \). Разделим обе части уравнения на 60 000, чтобы упростить выражение: \( \left(1 + \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{x}{200}\right) = \frac{67\,392}{60\,000} \). При раскрытии скобок получаем \( 1 + \frac{x}{100} + \frac{x}{200} + \frac{x^2}{100 \cdot 200} = \frac{2106}{1875} \), где дробь \( \frac{2106}{1875} \) — это результат деления 67 392 на 60 000 в несокращённом виде.

Далее объединим и упростим слагаемые: \( 1 + \frac{3x}{200} + \frac{x^2}{20\,000} = \frac{702}{625} \). Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 20 000: \( 20\,000 + 3x \cdot 100 + x^2 = 702 \cdot 32 \). Это даёт нам уравнение \( 20\,000 + 300x + x^2 = 22\,464 \). Переносим все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 + 300x — 2\,464 = 0 \).

Для решения квадратного уравнения используем дискриминант \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 300 \), \( c = -2\,464 \). Подставляем значения: \( D = 300^2 + 4 \cdot 2\,464 = 90\,000 + 9\,856 = 99\,856 \). Корни уравнения находятся по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{-300 — 316}{2} < 0 \), он отрицательный и не подходит, так как процентная ставка не может быть отрицательной. Второй корень: \( x_2 = \frac{-300 + 316}{2} = \frac{16}{2} = 8 \% \).

Итак, годовая процентная ставка, начисленная вкладчику в первый год, равна 8 %.