ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 16 Номер 10 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

В справочнике указано, что плотность воздуха равна \(1,293 \cdot 10^{-3} \text{ г/см}^3\). Оцените относительную погрешность этого приближения.

Пусть \(\rho\) — точное значение плотности воздуха. Данные справочника означают, что:
\(\rho = (1,293 \pm 0,001) \cdot 10^{-3} \text{ г/см}^3 = (1,293 \cdot 10^{-3} \pm 10^{-3} \cdot 10^{-3}) \text{ г/см}^3=\)
\( = 1,293 \cdot 10^{-3} \pm 10^{-6} \text{ г/см}^3.\)
Следовательно, плотность воздуха указана с точностью до \(10^{-6} \text{ г/см}^3.\)
Тогда, относительная погрешность приближения:
\(\frac{10^{-6}}{1,293 \cdot 10^{-3}} = \frac{1}{1,293 \cdot 10^{3}} = \frac{1}{1293} \approx 0,0007 \approx 0,07 \%.\)
Ответ: \(\approx 0,07 \%.\)

Пусть \(\rho\) — точное значение плотности воздуха, которое мы хотим определить с максимальной точностью. В справочнике указано, что плотность равна \( (1,293 \pm 0,001) \cdot 10^{-3} \text{ г/см}^3\). Это означает, что основное значение плотности равно \(1,293 \cdot 10^{-3} \text{ г/см}^3\), а возможная ошибка или погрешность измерения составляет \(0,001 \cdot 10^{-3} \text{ г/см}^3\). Для удобства и более точного анализа эту погрешность можно переписать как \(10^{-6} \text{ г/см}^3\), так как \(0,001 \cdot 10^{-3} = 10^{-6}\). Таким образом, плотность воздуха выражается с точностью до \(10^{-6} \text{ г/см}^3\).

Теперь рассмотрим, что означает эта точность в относительном выражении, то есть насколько велика погрешность по отношению к самому значению плотности. Относительная погрешность — это отношение абсолютной погрешности к точному значению величины. В нашем случае абсолютная погрешность равна \(10^{-6}\), а точное значение — \(1,293 \cdot 10^{-3}\). Следовательно, относительная погрешность вычисляется по формуле
\(\frac{10^{-6}}{1,293 \cdot 10^{-3}} = \frac{10^{-6}}{1,293 \cdot 10^{-3}} = \frac{1}{1,293 \cdot 10^{3}}.\)
Упростив выражение, получаем
\(\frac{1}{1293} \approx 0,0007.\)
Это число показывает, что погрешность составляет примерно 0,0007 в долях от единицы, то есть очень маленькую величину.

Для удобства восприятия и практического использования эту относительную погрешность часто выражают в процентах, умножая на 100%. Таким образом,
\(0,0007 \times 100\% = 0,07\%.\)
Это означает, что значение плотности воздуха, приведённое в справочнике, указано с точностью около 0,07%, что является достаточно высокой точностью для большинства инженерных и научных задач. Итоговый ответ: относительная погрешность приближения равна примерно \(0,07\%\).