ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 19 Номер 9 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Карточки с номерами 1, 2, 3 и 4 произвольным образом разложили в ряд. Какова вероятность того, что карточки с чётными номерами окажутся рядом?

Найдем, сколько существует способов разложить 4 карточки в ряд. Первую карточку можно выбрать 4 способами, затем вторую — 3 способами, потом третью — 2 способами, а четвертую — 1 способом. Следовательно, в данном испытании существует \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\) равновозможных результата.

Теперь найдем, сколько существует способов разложить 4 карточки в ряд, если карточки с четными номерами окажутся рядом. Рассмотрим разные варианты расположения карточек с четными номерами.

Если первая карточка с четным номером, то её можно выбрать 2 способами (две карточки с четными номерами), вторую карточку с четным номером — 1 способом, третью — 2 способами (две карточки с нечетными номерами), и четвертую — 1 способом. Итого, \(2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 4\) варианта.

Если вторая и третья карточки с четными номерами, то также существует 4 способа расположить остальные карточки.

Если третья и четвертая карточки с четными номерами, то также 4 способа.

Итого, количество способов, при которых карточки с четными номерами окажутся рядом, равно \(4 + 4 + 4 = 12\).

Вероятность события \(A\) — «карточки с четными номерами окажутся рядом» — равна отношению количества благоприятных результатов к общему числу равновозможных результатов:

\(P(A) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

Ответ: \(0{,}5\).

Для начала рассмотрим, сколько всего существует способов разложить 4 карточки в ряд. Первая карточка может быть выбрана из 4 доступных вариантов, так как все карточки различны. После того, как первая карточка выбрана, остается 3 карточки для выбора второй позиции, затем 2 карточки для третьей позиции и, наконец, 1 карточка для четвертой позиции. Таким образом, общее количество способов расположить 4 карточки равно произведению количества вариантов на каждом шаге: \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\). Это число называется факториалом и обозначается как \(4!\). Каждый из этих 24 способов равновероятен, поскольку карточки уникальны и случайно располагаются в ряд.

Теперь рассмотрим условие, что карточки с четными номерами должны оказаться рядом. Карточки с четными номерами — это две карточки, например, номер 2 и номер 4. Чтобы они были рядом, они могут образовывать пару, которую мы будем рассматривать как один блок. Рассмотрим все возможные варианты расположения этого блока и оставшихся карточек с нечетными номерами (например, 1 и 3). Блок из двух четных карточек можно расположить в ряду в трех позициях: на первых двух местах (первый и второй), на средних двух местах (второй и третий), или на последних двух местах (третий и четвертый).

В каждом из этих случаев внутри блока из двух четных карточек сами карточки могут меняться местами, то есть перестановок внутри блока 2! = 2. Для оставшихся двух нечетных карточек также существует 2! = 2 способа их расположить на оставшихся двух местах. Таким образом, для каждого варианта расположения блока из четных карточек количество способов равно произведению перестановок внутри блока и перестановок нечетных карточек: \(2 \cdot 2 = 4\).

Поскольку таких вариантов расположения блока из четных карточек всего 3, общее количество способов расположить карточки с четными номерами рядом равно \(3 \cdot 4 = 12\). Это количество благоприятных исходов.

Вероятность события \(A\), что карточки с четными номерами окажутся рядом, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: \(P(A) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). Таким образом, вероятность того, что две карточки с четными номерами будут расположены рядом, составляет 0,5 или 50%.