ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 2 Номер 13 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Сравните числа \(a\) и \(b\) с числом 0, если известно, что:
1) \(9a > 10a\);
2) \(-3b < -4b\);
3) \(\frac{a}{6} > \frac{b}{6}\) и \(b > 1\);
4) \(a + 3 < b + 3\) и \(b < -2\);
5) \(-10a > -10b\) и \(b < -\frac{1}{3}\).

1) \(9a > 10a\)
Рассмотрим разность левой и правой частей данного неравенства: \(9a — 10a = -a\). Следовательно, \(a < 0\).
\(a < 0\)

2) \(-3b < -4b \Longleftrightarrow 3b > 4b\)
Рассмотрим разность левой и правой частей данного неравенства: \(3b — 4b = -b\). Следовательно, \(b < 0\).
\(b < 0\)

3) \(\frac{a}{6} > \frac{b}{6}\) и \(b > 1\).
Имеем: \(a > b\) и \(b > 1\). Следовательно, \(a > b > 1 > 0\). Таким образом, \(a > 0\) и \(b > 0\).
\(a > 0, \, b > 0\)

4) \(a + 3 < b + 3\) и \(b < -2\).
Имеем: \(a < b\) и \(b < -2\). Следовательно, \(a < b < -2 < 0\). Таким образом, \(a < 0\) и \(b < 0\).
\(a < 0, \, b < 0\)

5) \(-10a > -10b\) и \(b < -\frac{1}{3}\).
\(10a < 10b\) и \(b < -\frac{1}{3}\). Имеем: \(a < b\) и \(b < -\frac{1}{3}\). Следовательно, \(a < b < -\frac{1}{3} < 0\). Таким образом, \(a < 0\) и \(b < 0\).
\(a < 0, \, b < 0\)

1) \(9a > 10a\)
Для начала рассмотрим неравенство \(9a > 10a\). Чтобы упростить выражение, вычтем \(9a\) из обеих частей, получим \(0 > a\). Это эквивалентно тому, что \(a < 0\). Можно также рассмотреть разность левой и правой частей: \(9a — 10a = -a\). Таким образом, для любого значения \(a\), чтобы неравенство было верным, \(a\) должно быть отрицательным, то есть меньше нуля. Это означает, что если \(a\) положительное или равно нулю, то \(9a\) всегда будет меньше или равно \(10a\), и неравенство не выполнится. Только при \(a < 0\) левая часть становится больше правой, потому что коэффициенты при \(a\) разные, и отрицательное значение при умножении на больший коэффициент дает меньший результат. Следовательно, окончательно получаем \(a < 0\).

2) \(-3b < -4b \Longleftrightarrow 3b > 4b\)
Рассмотрим неравенство \(-3b < -4b\). Чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов, добавим \(4b\) к обеим частям: \(-3b + 4b < -4b + 4b\), получаем \(b < 0\). Можно также рассмотреть разность: \(-3b — (-4b) = -3b + 4b = b\), то есть \(b < 0\). Кроме того, если перенести все члены с переменной в одну сторону, получим \(4b — 3b > 0\), что эквивалентно \(b > 0\), но так как знак неравенства был изменён при умножении на \(-1\), окончательно получаем \(b < 0\). Это значит, что для всех отрицательных значений \(b\) неравенство выполняется, а для положительных — нет. Таким образом, \(b\) обязательно меньше нуля.

3) \(\frac{a}{6} > \frac{b}{6}\) и \(b > 1\)
Имеем два условия: первое — \(\frac{a}{6} > \frac{b}{6}\), второе — \(b > 1\). Из первого условия, если обе дроби имеют одинаковый знаменатель, сравниваем числители: \(a > b\). Второе условие говорит о том, что \(b\) больше единицы. Следовательно, если \(a > b\) и \(b > 1\), то \(a\) обязательно больше \(b\), а значит и больше единицы: \(a > b > 1\). Это также означает, что обе переменные, \(a\) и \(b\), больше нуля, ведь любое число, большее единицы, автоматически больше нуля. Таким образом, оба числа положительные, и неравенства выполняются только для положительных значений \(a\) и \(b\), причём \(a\) строго больше \(b\), а \(b\) строго больше единицы.

4) \(a + 3 < b + 3\) и \(b < -2\)
Первое условие \(a + 3 < b + 3\) можно упростить, вычитая 3 из обеих частей: \(a < b\). Второе условие — \(b < -2\), то есть \(b\) меньше минус двух. Если \(a < b\), а \(b < -2\), то \(a\) обязательно меньше \(b\), а значит и меньше \(-2\). То есть \(a < b < -2\). Это означает, что оба числа меньше нуля, ведь любое число, меньшее \(-2\), обязательно отрицательное. Таким образом, оба значения, и \(a\), и \(b\), находятся в области отрицательных чисел, причём \(a\) ещё меньше, чем \(b\), а \(b\) меньше, чем \(-2\).

5) \(-10a > -10b\) и \(b < -\frac{1}{3}\)
Первое неравенство \(-10a > -10b\) можно преобразовать, умножив обе части на \(-1\) (при этом знак неравенства меняется на противоположный): \(10a < 10b\). Разделим обе части на 10: \(a < b\). Второе условие — \(b < -\frac{1}{3}\). Объединяя оба условия, получаем: \(a < b < -\frac{1}{3}\). Это значит, что оба числа, \(a\) и \(b\), меньше \(-\frac{1}{3}\), а значит, оба они отрицательные. Любое число, меньшее \(-\frac{1}{3}\), обязательно меньше нуля, и \(a\) при этом ещё меньше, чем \(b\). Следовательно, оба числа находятся в области отрицательных значений.