ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 2 Номер 15 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Дано: \(c \geq 2\). Докажите, что \(\frac{7c — 6}{4} \geq 2\).
*Цитирирование задания со ссылкой на учебник задания.

Умножим обе части неравенства \(c \geq 2\) на число 7, получим неравенство:
\(c \geq 2 \quad | \cdot 7\)
\(7c \geq 2 \cdot 7\)
\(7c \geq 14\)

Вычтем из обеих частей этого неравенства число 6, получим неравенство:
\(7c \geq 14 \quad | -6\)
\(7c — 6 \geq 14 — 6\)
\(7c — 6 \geq 8\)

Разделим обе части этого неравенства на число 4, получим неравенство:
\(7c — 6 \geq 8 \quad | :4\)
\(\frac{7c — 6}{4} \geq \frac{8}{4}\)
\(\frac{7c — 6}{4} \geq 2\)

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим поэтапно доказательство неравенства, начиная с самого условия. Нам дано, что переменная \(c\) удовлетворяет неравенству \(c \geq 2\). Это означает, что значение \(c\) может быть равно двум или любому большему числу. Задача состоит в том, чтобы показать, что при таком ограничении на \(c\) выражение \(\frac{7c — 6}{4}\) также всегда будет не меньше двух.

Первым шагом мы усиливаем исходное неравенство, умножая обе его части на число 7. Такое действие допустимо, так как 7 положительное и знак неравенства не изменится. В результате получаем: \(c \geq 2\), умножаем на 7, получаем \(7c \geq 14\). Это значит, что если \(c\) хотя бы два, то \(7c\) хотя бы четырнадцать. Следующим действием мы вычитаем из обеих частей неравенства число 6. Это также допустимая операция, поскольку вычитание одного и того же числа из обеих частей неравенства сохраняет его правильность: \(7c \geq 14\), вычитаем 6, получаем \(7c — 6 \geq 14 — 6\), то есть \(7c — 6 \geq 8\). Теперь левая часть неравенства стала похожа на ту, которую требуется доказать.

Для получения окончательного результата, делим обе части полученного неравенства на 4. Деление на положительное число не меняет направление неравенства, поэтому это действие корректно: \(7c — 6 \geq 8\), делим на 4, получаем \(\frac{7c — 6}{4} \geq \frac{8}{4}\). После упрощения правой части дроби получаем \(\frac{7c — 6}{4} \geq 2\). Это как раз то неравенство, которое требовалось доказать в задаче. Таким образом, мы пришли к выводу, что для любого значения \(c\), удовлетворяющего исходному условию \(c \geq 2\), выражение \(\frac{7c — 6}{4}\) всегда будет не меньше двух.

В этом рассуждении на каждом этапе использовались базовые свойства неравенств: умножение обеих частей на положительное число, вычитание одного и того же числа, деление обеих частей на положительное число. Все эти действия не изменяют направление неравенства и позволяют последовательно преобразовать исходное условие к требуемому результату. Такой способ доказательства полезен тем, что каждый шаг логически вытекает из предыдущего, и ни на одном этапе не происходит потери информации или нарушения правил работы с неравенствами.