ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 2 Номер 16 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

На координатной прямой отмечено число \(a\).
Расположите выражения \(a — 1\), \(1/a\) и \(a\) в порядке возрастания их значений.

Из рисунка следует, что \(a < 1\). Вычитая из обеих частей этого неравенства число 1, получаем, что \(a — 1 < 0\). Из рисунка следует, что \(0 < a\). Имеем: \(a — 1 < 0\) и \(0 < a\). Тогда, \(a — 1 < a\).
Поскольку \(0 < a < 1\), то \(\frac{1}{a} > 1\).
Имеем: \(a — 1 < a\), \(a < 1\), \(\frac{1}{a} > 1\).
Тогда можем записать ответ.
Ответ: \(a — 1 < a < \frac{1}{a}\).

Пусть на координатной прямой отмечено число \(a\), причём из условия задачи известно, что это число лежит между нулём и единицей, то есть выполняется неравенство \(0 < a < 1\). Нам нужно расположить три выражения: \(a — 1\), \(a\) и \(\frac{1}{a}\) в порядке возрастания их значений. Для этого рассмотрим каждую из этих величин по отдельности и сравним их между собой.

Начнём с выражения \(a — 1\). Так как \(a < 1\), то если вычесть 1 из обеих частей этого неравенства, получим \(a — 1 < 0\). Это значит, что значение выражения \(a — 1\) всегда отрицательно при \(0 < a < 1\). Само число \(a\), по условию, положительно, но меньше единицы, то есть \(0 < a < 1\). Таким образом, уже ясно, что \(a — 1 < a\), так как \(a — 1\) — отрицательное число, а \(a\) — положительное.

Теперь рассмотрим выражение \(\frac{1}{a}\). Поскольку \(a\) — положительное число, но меньше единицы (\(0 < a < 1\)), то при делении единицы на \(a\) мы получим число больше единицы: \(\frac{1}{a} > 1\). Это происходит потому, что чем меньше знаменатель положительной дроби (но больше нуля), тем больше её значение. Например, если \(a = 0.5\), то \(\frac{1}{0.5} = 2\); если \(a = 0.1\), то \(\frac{1}{0.1} = 10\). Следовательно, при любом \(a\) из промежутка \(0 < a < 1\) верно неравенство \(a < 1 < \frac{1}{a}\).

Теперь объединим всё вместе. Мы уже выяснили, что \(a — 1 < a\), так как первое выражение отрицательно, а второе положительно. Также установили, что \(a < \frac{1}{a}\), так как \(a < 1\) и \(\frac{1}{a} > 1\). Следовательно, итоговый порядок будет следующим: сначала идёт самое маленькое число \(a — 1\), затем само \(a\), и, наконец, самое большое — это \(\frac{1}{a}\). Таким образом, все три числа упорядочиваются по возрастанию так: \(a — 1 < a < \frac{1}{a}\).