ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 2 Номер 17 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

На координатной прямой отмечено число \(a\).
Расположите выражения \(a-1\), \(\frac{1}{a}\) и \(a\) в порядке убывания их значении.

Из рисунка следует, что \(a < 0\). Вычитая из обеих частей этого неравенства число 1, получаем, что \(a — 1 < -1\). Из рисунка следует, что \(a > -1\). Имеем: \(a — 1 < -1\) и \((-1) < a\). Тогда, \(a — 1 < a\). Поскольку \(-1 < a < 0\), то \(\frac{1}{a} < -1\). Имеем: \(a — 1 < a\), \(a > -1\), \(\frac{1}{a} < -1\). Тогда можем записать ответ.
Ответ: \(a > a — 1 > \frac{1}{a}\).

Пусть на координатной прямой отмечено число \(a\), и известно, что оно отрицательное, то есть \(a < 0\). Это означает, что \(a\) лежит левее нуля, но также по условию задачи \(a > -1\), то есть \(a\) больше, чем \(-1\), но меньше нуля. Таким образом, \(a\) принадлежит интервалу \(-1 < a < 0\). Теперь рассмотрим три выражения: \(a-1\), \frac{1}{a}\) и \(a\), и определим их порядок убывания.

Рассмотрим сначала разницу между \(a\) и \(a-1\). Если мы из числа \(a\) вычтем единицу, то получим число, которое всегда будет меньше самого \(a\), так как вычитание положительного числа уменьшает исходное число. То есть, для любого \(a\) справедливо неравенство \(a-1 < a\). Например, если \(a = -0.5\), то \(a-1 = -1.5\), а \(-1.5 < -0.5\). Таким образом, из двух выражений \(a\) и \(a-1\), большее значение имеет \(a\).

Теперь рассмотрим выражение \frac{1}{a}\). Так как \(a\) отрицательное (\(a < 0\)), то \frac{1}{a}\) также будет отрицательным числом. Более того, когда \(a\) по модулю меньше единицы (то есть \(a\) ближе к нулю, чем к \(-1\)), то \frac{1}{a}\) по модулю будет больше единицы, а по знаку останется отрицательным. Например, если \(a = -0.5\), то \frac{1}{a} = \frac{1}{-0.5} = -2\). Видно, что \frac{1}{a}\) меньше \(-1\). Если взять \(a = -0.9\), то \frac{1}{a} = \frac{1}{-0.9} \approx -1.11\), что тоже меньше \(-1\). Таким образом, для всех \(a\) из интервала \(-1 < a < 0\), выполняется \frac{1}{a} < -1\).

Теперь сравним все три выражения. Мы уже выяснили, что \(a-1 < a\), и что \frac{1}{a} < -1\). Также известно, что \(a > -1\), а значит, \(a\) больше, чем \frac{1}{a}\), поскольку \frac{1}{a}\) всегда меньше \(-1\) на этом интервале. Рассмотрим ещё раз: \(a\) больше, чем \(a-1\), потому что вычитание единицы уменьшает число, а \(a-1\) больше, чем \frac{1}{a}\), потому что \(a-1\) лежит между \(-2\) и \(-1\), а \frac{1}{a}\) всегда меньше \(-1\). Например, если \(a = -0.5\), то \(a-1 = -1.5\), а \frac{1}{a} = -2\), и действительно, \(-0.5 > -1.5 > -2\).

Таким образом, окончательный порядок убывания значений этих выражений следующий: \(a > a-1 > \frac{1}{a}\).