ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 2 Номер 18 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

На координатной прямой отмечено число \(a\).
Расположите выражения \(a\), \(a^2\) и \(\frac{1}{a}\) в порядке убывания их значений.

Из рисунка следует, что \(a < 0\). Тогда \(a^2 > 0\).
Поскольку \(a < -1\) и \(a \cdot (-1) > 0\), то \(\frac{1}{a} > \frac{1}{-1}\), то есть \(\frac{1}{a} > -1\).
Имеем: \(a < -1\), \(a^2 > 0\), \(\frac{1}{a} > -1\).
Тогда можем записать ответ.
\(a^2 > \frac{1}{a} > a\).

Пусть на координатной прямой отмечено число \(a\), причем по условию \(a < 0\). Это значит, что число \(a\) отрицательное. Если взять квадрат этого числа, то получится \(a^2\). Квадрат любого отрицательного числа всегда положителен, потому что произведение двух одинаковых отрицательных множителей даёт положительный результат: например, если \(a = -3\), то \(a^2 = (-3)^2 = 9\). Таким образом, \(a^2 > 0\) для любого отрицательного \(a\).

Далее рассмотрим выражение \(\frac{1}{a}\). Когда \(a < 0\), дробь \(\frac{1}{a}\) также будет отрицательной, потому что деление положительного числа на отрицательное даёт отрицательный результат. Например, если \(a = -2\), то \(\frac{1}{a} = \frac{1}{-2} = -0{,}5\). Но важно учесть, что если \(a < -1\), то \(\frac{1}{a}\) будет больше, чем \(-1\), потому что чем больше по модулю отрицательное число в знаменателе, тем ближе результат к нулю. Например, если \(a = -5\), то \(\frac{1}{a} = -0{,}2\), а если \(a = -100\), то \(\frac{1}{a} = -0{,}01\). Поэтому при \(a < -1\) всегда выполняется неравенство \(\frac{1}{a} > -1\).

Теперь сравним значения выражений \(a\), \(a^2\) и \(\frac{1}{a}\). Поскольку \(a < -1\), само число \(a\) самое маленькое из всех трёх выражений, ведь оно отрицательно и по модулю больше единицы. Квадрат \(a^2\) всегда положителен и, очевидно, больше и самого \(a\), и \(\frac{1}{a}\), который, хоть и отрицателен, но ближе к нулю, чем само \(a\). Например, если \(a = -2\), то \(a^2 = 4\), \(a = -2\), \(\frac{1}{a} = -0{,}5\). Видно, что \(a^2 > \frac{1}{a} > a\). Это неравенство сохраняется при любых значениях \(a < -1\).

Итак, окончательное расположение выражений по убыванию: \(a^2 > \frac{1}{a} > a\).