ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 2 Номер 19 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

На координатной прямой отмечено число \(a\). Расположите выражения \(a\), \(a^2\) и \(\frac{1}{a}\) в порядке возрастания их значений.

Из рисунка следует, что \(a > 0\). Тогда \(a^2 > 0\) и \(a^2 > a\).
Поскольку \(a > 1\) и \(a > 0\), то \(\frac{1}{a} < 1\).
Имеем: \(a > 1\), \(a^2 > a\), \(\frac{1}{a} < 1\).
Тогда можем записать ответ.
\(\frac{1}{a} < a < a^2\).

На координатной прямой отмечено число \(a\), при этом в условии указано, что \(a > 1\). Это значит, что рассматриваемое число больше единицы и положительно. Рассмотрим три выражения: само число \(a\), его квадрат \(a^2\), а также дробь, обратную этому числу, то есть \(\frac{1}{a}\).

Поскольку \(a > 1\), возведение числа \(a\) в квадрат увеличивает его значение, потому что любое положительное число, большее единицы, при возведении в квадрат становится ещё больше. Например, если \(a = 2\), то \(a^2 = 4\), если \(a = 3\), то \(a^2 = 9\) и так далее. Таким образом, всегда выполняется неравенство \(a^2 > a\) при \(a > 1\).

Теперь рассмотрим выражение \(\frac{1}{a}\). Если \(a > 1\), то эта дробь всегда меньше единицы, потому что делитель больше числителя. Например, если \(a = 2\), то \(\frac{1}{2} = 0.5\), если \(a = 3\), то \(\frac{1}{3} \approx 0.33\). Кроме того, поскольку \(a\) положительно и больше единицы, то \(\frac{1}{a}\) также положительно, но строго меньше единицы. Это означает, что \(\frac{1}{a} < 1 < a < a^2\).

Сравнивая все три выражения между собой, можно записать итоговое неравенство: \(\frac{1}{a} < a < a^2\). Это значит, что из всех трёх выражений наименьшее значение имеет обратная дробь \(\frac{1}{a}\), затем идёт само число \(a\), а наибольшее значение имеет квадрат числа \(a^2\).