ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 2 Номер 7 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Известно, что \(a\) и \(b\) — положительные числа и \(a > b\). Отметьте в пустой клетке знаком верное утверждение.
1) \( \frac{1}{a} > \frac{2}{b} \); 3) \( \frac{1}{a} = \frac{2}{b} \);
2) \( \frac{1}{a} < \frac{2}{b} \); 4) сравнить \( \frac{1}{a} \) и \( \frac{2}{b} \) невозможно.

Известно, что \(a\) и \(b\) — положительные числа и \(a > b\).

Тогда, утверждение 2) \( \frac{1}{a} < \frac{2}{b} \) верно.

Пусть даны два положительных числа \(a\) и \(b\), при этом \(a > b\). Рассмотрим выражения \( \frac{1}{a} \) и \( \frac{2}{b} \). Так как \(a\) и \(b\) положительные, их обратные тоже будут положительными. При увеличении значения знаменателя дроби её значение уменьшается, то есть если \(a > b\), то \( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} \). Это связано с тем, что чем больше делитель, тем меньше результат деления.

Далее, сравним \( \frac{1}{a} \) и \( \frac{2}{b} \). Для этого выразим оба числа через общий знаменатель: \( \frac{1}{a} \) и \( \frac{2}{b} \). Чтобы сравнить их, можно привести к общему знаменателю: \( \frac{1}{a} \) и \( \frac{2}{b} = \frac{2a}{ab} \) и \( \frac{1}{a} = \frac{b}{ab} \). Теперь сравним числители: \(b\) и \(2a\). Так как \(a > b\), то \(2a > b\), следовательно, \( \frac{1}{a} < \frac{2}{b} \).

Также можно рассмотреть следующее преобразование: если \( \frac{1}{a} < \frac{2}{b} \), то при умножении обеих частей неравенства на \(ab\) (положительное число), получаем \(b < 2a\), что всегда верно при \(a > b > 0\). Таким образом, утверждение 2) \( \frac{1}{a} < \frac{2}{b} \) действительно является верным для любых положительных \(a\) и \(b\), где \(a > b\).