ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 21 Номер 1 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Заполните пропуски.
1) Объекты, которые образуют последовательности.
2) Объекты, образующие последовательность, называют ________________.
3) Член последовательности, имеющий номер \(n\), называют ________________.
4) Последовательность называют числовой, если ________________.
5) Существуют следующие способы задания последовательности: ________________.
6) Рекуррентной формулой называют формулу, выражающую член последовательности через ________________.
7) Начальными условиями называют условия, определяющие ________________.
8) Рекуррентным способом задания последовательности называют способ задания последовательности с помощью ________________.

1) Объекты, которые пронумерованы подряд натуральными числами 1, 2, 3, …, \(n\), …, образуют последовательности.
2) Объекты, образующие последовательность, называют членами последовательности.
3) Член последовательности, имеющий номер \(n\), называют \(n\)-м членом последовательности.
4) Последовательность называют числовой, если ее членами являются числа.
5) Существуют следующие способы задания последовательности:
— описательный;
— табличный;
— с помощью формулы;
— рекуррентный.
6) Рекуррентной формулой называют формулу, выражающую член последовательности через один или несколько предыдущих членов.
7) Начальными условиями называют условия, определяющие первый или несколько первых членов.
8) Рекуррентным способом задания последовательности называют способ задания последовательности с помощью начальных условий и рекуррентной формулы.

Объекты, которые пронумерованы подряд натуральными числами 1, 2, 3, …, \(n\), …, образуют последовательности. Это означает, что каждый элемент последовательности имеет свой уникальный номер — натуральное число, которое показывает его положение в этой последовательности. Нумерация начинается с единицы и продолжается бесконечно или до конечного количества элементов. Такая нумерация позволяет упорядочить объекты и однозначно указать на любой элемент, что важно для дальнейшего изучения и анализа последовательностей. Например, если у нас есть последовательность чисел \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots\), то индекс \(n\) однозначно определяет положение элемента \(a_n\).

Объекты, образующие последовательность, называют членами последовательности. Каждый член — это отдельный элемент, который входит в последовательность и имеет свой порядковый номер. Члены последовательности могут быть разного типа, но часто рассматриваются числовые последовательности, где каждый член является числом. Понятие члена важно, так как изучение последовательности сводится к анализу её членов и их свойств. Например, в числовой последовательности \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) каждый элемент \(a_n\) — это член последовательности с номером \(n\).

Член последовательности, имеющий номер \(n\), называют \(n\)-м членом последовательности. Это обозначение помогает конкретизировать, какой именно элемент рассматривается в последовательности. Например, если мы говорим о пятом члене последовательности, то имеем в виду элемент \(a_5\). Нумерация важна не только для идентификации, но и для формулировки правил и формул, по которым строится или вычисляется последовательность. Таким образом, \(n\)-й член — это элемент, соответствующий натуральному числу \(n\), и он играет ключевую роль в изучении и использовании последовательностей.

Последовательность называют числовой, если её членами являются числа. Это значит, что каждый элемент последовательности — это число, которое может быть целым, рациональным, действительным или комплексным, в зависимости от контекста. Числовые последовательности широко применяются в математике и её приложениях, так как позволяют анализировать числовые закономерности и строить математические модели. Например, последовательность \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\) является числовой, так как все её члены — числа.

Существуют различные способы задания последовательности, которые позволяют описать или определить её члены. К основным способам относятся: описательный, табличный, с помощью формулы и рекуррентный. Описательный способ предполагает словесное описание или правило, по которому формируется последовательность. Табличный способ — это представление последовательности в виде таблицы с номерами и значениями членов. Задание с помощью формулы предполагает явное выражение члена \(a_n\) через номер \(n\), например, \(a_n = 2n + 1\). Рекуррентный способ задаёт каждый член через предыдущие, например, \(a_n = a_{n-1} + 3\) с начальным условием \(a_1 = 2\). Каждый из этих способов удобен в разных ситуациях и позволяет эффективно работать с последовательностями.

Рекуррентной формулой называют формулу, выражающую член последовательности через один или несколько предыдущих членов. Это значит, что для вычисления \(n\)-го члена нужно знать значение одного или нескольких предыдущих членов, например, \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\). Такая формула задаёт зависимость между соседними элементами и часто используется для описания последовательностей, где каждый новый элемент строится на основе предыдущих. Это позволяет строить последовательности по шагам, начиная с заданных начальных условий.

Начальными условиями называют условия, определяющие первый или несколько первых членов последовательности. Они необходимы для того, чтобы рекуррентная формула могла быть применена и последовательность была однозначно задана. Например, для последовательности, заданной формулой \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\), нужны начальные условия \(a_1 = 1\) и \(a_2 = 1\), чтобы начать вычисления. Без начальных условий рекуррентная формула не даёт конкретных чисел, а только описывает общий вид последовательности.

Рекуррентным способом задания последовательности называют способ задания последовательности с помощью начальных условий и рекуррентной формулы. Это значит, что сначала задаются первые члены последовательности, а затем каждый следующий член вычисляется по формуле, используя уже известные предыдущие члены. Такой способ широко используется в математике и программировании, так как позволяет строить сложные последовательности по простым правилам. Например, последовательность Фибоначчи задаётся рекуррентно: \(a_1 = 1\), \(a_2 = 1\), а для \(n \geq 3\) выполняется \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\).