ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 21 Номер 11 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите шесть первых членов последовательности \((b_n)\), если \(b_1 = 3\), \(b_2 = -2\), \(b_{n+2} = 5b_n + 4b_{n+1}\).

Известно, что \(b_1 = 3\); \(b_2 = -2\); \(b_{n+2} = 5b_n + 4b_{n+1}\). Тогда:
\(b_3 = 5b_1 + 4b_2 = 5 \cdot 3 + 4 \cdot (-2) = 15 — 8 = 7\);
\(b_4 = 5b_2 + 4b_3 = 5 \cdot (-2) + 4 \cdot 7 = -10 + 28 = 18\);
\(b_5 = 5b_3 + 4b_4 = 5 \cdot 7 + 4 \cdot 18 = 35 + 72 = 107\);
\(b_6 = 5b_4 + 4b_5 = 5 \cdot 18 + 4 \cdot 107 = 90 + 428 = 518\).
Ответ: \(3; -2; 7; 18; 107; 518\).

Дана последовательность \((b_n)\), определённая начальными значениями \(b_1 = 3\), \(b_2 = -2\) и рекуррентной формулой \(b_{n+2} = 5b_n + 4b_{n+1}\). Это означает, что каждый следующий член последовательности начиная с третьего вычисляется через предыдущие два члена с использованием заданной формулы. Чтобы найти первые шесть членов, нужно последовательно подставлять известные значения в формулу и вычислять новые члены.

Для нахождения третьего члена \(b_3\) подставим в формулу \(n=1\), тогда \(b_3 = 5b_1 + 4b_2\). Известно, что \(b_1 = 3\), а \(b_2 = -2\). Подставляя, получаем \(b_3 = 5 \cdot 3 + 4 \cdot (-2) = 15 — 8 = 7\). Таким образом, третий член равен 7. Этот шаг показывает, как мы используем начальные значения для вычисления следующего члена последовательности.

Для вычисления четвёртого члена \(b_4\) используем формулу с \(n=2\), то есть \(b_4 = 5b_2 + 4b_3\). Подставляем известные значения: \(b_2 = -2\), \(b_3 = 7\). Получаем \(b_4 = 5 \cdot (-2) + 4 \cdot 7 = -10 + 28 = 18\). Следующий, пятый член \(b_5\) вычисляем через \(b_3\) и \(b_4\): \(b_5 = 5b_3 + 4b_4 = 5 \cdot 7 + 4 \cdot 18 = 35 + 72 = 107\). Наконец, шестой член \(b_6\) находим через \(b_4\) и \(b_5\): \(b_6 = 5b_4 + 4b_5 = 5 \cdot 18 + 4 \cdot 107 = 90 + 428 = 518\).

Итоговые значения первых шести членов последовательности: \(b_1 = 3\), \(b_2 = -2\), \(b_3 = 7\), \(b_4 = 18\), \(b_5 = 107\), \(b_6 = 518\). Эти вычисления показывают, как с помощью рекуррентной формулы и начальных условий можно последовательно определить все последующие члены. Каждый новый член зависит от двух предыдущих, что характерно для линейных рекуррентных последовательностей второго порядка.