ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 21 Номер 12 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Последовательность \((x_n)\) задана формулой n-го члена \(x_n = n^2 + 3\). Является ли членом этой последовательности число: 1) 28; 2) 49?

№ 12.
\(x_n = n^2 + 3.\)
1) Если число 28 является членом данной последовательности, то существует такое натуральное значение \(n\), при котором выполняется равенство:
\(n^2 + 3 = 28\)
\(n^2 = 28 — 3\)
\(n^2 = 25\)
\(n = 5\) — натуральное значение, значит, число 28 является членом этой последовательности.
Номер этого члена равен 5.
Ответ: является; \(n = 5.\)

2) Если число 49 является членом данной последовательности, то существует такое натуральное значение \(n\), при котором выполняется равенство:
\(n^2 + 3 = 49\)
\(n^2 = 49 — 3\)
\(n^2 = 46\)
\(n = \sqrt{46}\) — ненатуральное значение, значит, число 49 не является членом этой последовательности.
Ответ: не является.

Рассмотрим последовательность, заданную формулой \(x_n = n^2 + 3\), где \(n\) — натуральное число, то есть \(n = 1, 2, 3, \ldots\). Чтобы определить, является ли заданное число членом этой последовательности, нужно проверить, существует ли такое натуральное \(n\), при котором \(x_n\) равно этому числу. Для этого подставим число в уравнение и решим его относительно \(n\).

Для числа 28 уравнение будет:
\(n^2 + 3 = 28\).
Вычтем 3 с обеих сторон:
\(n^2 = 28 — 3\),
то есть
\(n^2 = 25\).
Теперь найдём корень из 25:
\(n = \sqrt{25} = 5\).
Так как 5 — натуральное число, это означает, что существует член последовательности с номером 5, равный 28. Следовательно, число 28 действительно является членом последовательности. Номер этого члена — 5.

Для числа 49 проделаем аналогичные действия:
\(n^2 + 3 = 49\).
Вычтем 3:
\(n^2 = 49 — 3\),
то есть
\(n^2 = 46\).
Возьмём корень квадратный:
\(n = \sqrt{46}\).
Корень из 46 — это иррациональное число, приблизительно равное 6,78, и оно не является натуральным числом. Поскольку \(n\) должно быть натуральным числом, а здесь такого \(n\) не существует, число 49 не может быть членом заданной последовательности. Таким образом, 49 не входит в последовательность \(x_n = n^2 + 3\).