ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 21 Номер 15 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Последовательность \((x_n)\) задана формулой n-го члена \(x_n = 52 + 4n — n^2\). Найдите номера членов этой последовательности, которые больше 20.

\(x_n = 52 + 4n — n^2.\)
Найдем, при каких натуральных значениях \(n\) выполняется неравенство:
\(52 + 4n — n^2 > 20\)
\(52 + 4n — n^2 — 20 > 0\)
\(-n^2 + 4n + 32 > 0.\)
Найдем корни квадратного трехчлена \(-n^2 + 4n + 32:\)
\(-n^2 + 4n + 32 = 0\)
\(n^2 — 4n — 32 = 0.\)
По теореме Виета:
\(n_1 + n_2 = 4;\quad n_1 n_2 = -32;\)
\(n_1 = -4,\quad n_2 = 8.\)
Изобразим схематично график функции \(y = -n^2 + 4n + 32\) и отметим множество решений данного неравенства:

Следовательно, \(n = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}.\)
Ответ: \(n = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}.\)

Рассмотрим последовательность, заданную формулой \(x_n = 52 + 4n — n^{2}\). Нам нужно определить, при каких натуральных значениях \(n\) члены последовательности превышают число 20, то есть решить неравенство \(x_n > 20\). Подставим выражение для \(x_n\) в неравенство: \(52 + 4n — n^{2} > 20\). Для удобства перенесем все слагаемые в левую часть: \(52 + 4n — n^{2} — 20 > 0\), что упрощается до \(-n^{2} + 4n + 32 > 0\).

Далее рассмотрим квадратный трехчлен \(-n^{2} + 4n + 32\). Чтобы понять, на каких промежутках он положителен, найдем его корни, решив уравнение \(-n^{2} + 4n + 32 = 0\). Для удобства умножим обе части на \(-1\), получив \(n^{2} — 4n — 32 = 0\). Это стандартное квадратное уравнение, для которого по теореме Виета сумма корней равна коэффициенту при \(n\) с противоположным знаком, а произведение — свободному члену с учетом знака: \(n_1 + n_2 = 4\), \(n_1 n_2 = -32\). Решая, находим корни \(n_1 = -4\) и \(n_2 = 8\).

Поскольку квадратный трехчлен имеет старший коэффициент отрицательный (\(-1\)), его график представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Это означает, что значение функции положительно между корнями и отрицательно вне них. Корни у нас \(n_1 = -4\) и \(n_2 = 8\), следовательно, неравенство \(-n^{2} + 4n + 32 > 0\) выполняется для \(n\) из интервала \((-4, 8)\). Поскольку \(n\) — натуральное число, то \(n\) принимает значения от 1 до 7 включительно. Таким образом, номера членов последовательности, для которых \(x_n > 20\), это \(n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\).